Свойства последовательностей имеющих предел

(сходящиеся последовательности)

Предварительные замечания. Перед тем как начать исследование сходящихся последовательностей, рассмотрим два замечания.

1°. Пусть дано число . Тогда для любого >0 и |a|<e следует, что a=0.

Действительно, для любого числа верна одна из двух альтернатив: =0 или . Если , то >0 и так как e>0, то мы можем определить его как e , получили, что , то есть 1< . Полученное противоречие доказывает утверждение.

2°. Если e пробегает множество всех положительных действительных чисел R⁺ º(0,+µ), тогда для любого фиксированного положительного числа L множество всех чисел в виде произведения L×e составляет все множество R⁺. Таким образом, в определении (например, предела последовательности) или в утверждении (например, 1°), если для любого положительного числа e выполняются некоторые свойства, тогда их смысл не меняется, если вместо числа e взять число L×e.

Чаще всего в качестве L выбирают числа .

Ограниченные и неограниченные последовательности. Множество значений последовательности - это множество чисел , где 1, 2, ….

Здесь «ограниченность» в числах имеется в виду на множестве значений числовой последовательности. «Ограниченность» правила – не бывает.

Определение. Последовательность является ограниченной сверху, если числовое множество, составленное из всех значений этой функции, образует ограниченное сверху числовое множество, то есть для данного положительного действительного числа С и для всех номеров справедливо неравенство х_n£C.

Естественно, {х_n} последовательность является неограниченной сверху, если для любого действительного числа С найдется такой член последовательности, значение которого больше числа С, то есть найдется такое положительное целое число n(C), что выполняется неравенство х_n(C) >C.

Аналогично дается определение последовательности, ограниченной снизу: для заданного действительного числа С и произвольного целого положительного должно выполняться неравенство х_n(C) ³C.

Определение. Последовательность {х_n} называется ограниченной последовательностью, если она ограничена и сверху, и снизу: для данного действительного числа С и произвольных положительных целых чисел n справедливо неравенство: х_n³C. Таким образом, последовательность {х_n} является неограниченной, если неограничен сверху или снизу, или сверху и снизу одновременно.

1 - т е о р е м а. Если последовательность {х_n} имеет конечный предел, то она ограничена.

2 - т е о р е м а. (о сходящихся последовательностях). Если последовательность сходится, то она имеет только один предел, то есть если х_n ® а₁, х_n ® а₂ тогда а₁= а₂.

3 - т е о р е м а. Если х_n ® а (n®¥), то для любого положительного целого m имеем: х_n+m ® а (n®¥).

4 - т е о р е м а. Если x_n ® a (n® µ), то ïх_n ï® ï а ï (n®¥).

5 - т е о р е м а(о предельном переходе в неравенствах). Возьмем последовательности {х_n} и {у_n}, имеющие предел (+¥,-¥ или действительное число). Если найдется такой номер К, начиная с которого все члены последовательностей удовлетворяют неравенству х_n£у_n, для всех n, тогда смысл этого неравенства сохраняется для их пределов, то есть

(1)

З а м е ч а н и е. Если в условии теоремы 5 для всех n выполнено х_n<у_n, тогда все равно .

6 - т е о р е м а. Если последовательности , и подчиняются условиям:

a) для всех целых положительных n справедливы неравенства х_n£у_n£ z_n,

b) =аÎR¹.

Тогда и последовательность {у_n} имеет предел, причем равный числу а.

7 - т е о р е м а. Пусть даны последовательности {х_n} и {у_n} и = а пусть = b. Тогда

а) = а + b,

b) =c× а, для любого действительного числа с,

c) = а - b,

d) = а × b,

e) = .

Таким образом, применяя арифметические операции к двум сходящимся последовательностям, получим последовательности, имеющие пределы, равные пределам последовательностей, определенных выше.

Определение 3. Последовательность , имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Последовательность называется бесконечно малой, если она по абсолютной величине становится и остаётся меньшей сколь угодно малого наперёд заданного числа , начиная с некоторого места.

Если - произвольная последовательность, имеющая предел , то разность

,

очевидно, будет бесконечно малой, ведь в силу (1)

.

Обратно, если есть бесконечно малая, то . Следовательно, верно следующее утверждение

Для того чтобы последовательность имела своим пределом постоянное число , необходимо и достаточно, чтобы разность меду ними была бесконечно малой.

Примеры бесконечно малых. 1) . 2) . 3)