Свойства действительных чисел

Определение. Множество называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными числами, если выполняется следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой действительных чисел.

I. Операция сложения. Для любой упорядоченной пары действительных чисел a и b определено, и притом единственным образом, число, называемое их суммой и обозначаемое через , так что при этом имеют место следующие свойства.

I₁. Для любой пары чисел a и b

Это свойство называется переместительным или коммутативным законом сложения.

I₂. Для любых чисел a, b и c .

Это свойство называется сочетательным или ассоциативным законом сложения.

I₃. Существует число, обозначаемое 0 и называемое нулём, такое, что для любого числа a

.

I₄. Для любого числа a существует число, обозначаемое –a и называемое противоположным данному, такое, что .

II. Операция умножения. Для любой упорядоченной пары чисел a и b определено, и притом единственным образом, число, называемое их произведением и обозначаемое ab, так что при этом имеют место следующие свойства.

II₁. Для любой пары чисел a и b ab=ba.

Это свойство называется переместительным или коммутативным законом умножения.

II₂. Для любых чисел a, b, c a(bc)=(ab)c.

Это свойство называется сочетательным или ассоциативным законом умножения.

II₃. Существует число, обозначаемое 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа a

.

II₄. Для любого числа существует число, обозначаемое и называемое обратным данному, такое, что .

III. Связь операций сложения и умножения. Для любых чисел a, b, c

.

Это свойство называется распределительным или дистрибутивным законом умножения относительно сложения.

IV. Упорядоченность. Для каждого числа a определено одно из соотношений , a=0 или так, что условие равносильно условию .

При этом если , , то имеют место неравенства: IV₁. . IV₂. .

V. Свойство непрерывности. Каковы бы ни были непустые множества , у которых для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такое число , что для всех и имеет место соотношение

.

VI. Аксиома Архимеда. Для любых двух действительных чисел a>0 и b существует единственное целое число k, удовлетворяющее неравенству: ka£b<(k+1)a.

Рис. 2

Иначе говоря, для любого действительного числа a>0 множество действительных чисел можно представить в виде объединения полуинтервалов [ka,(k+1)a) (k=0; ±1; ±2; …). Значит, любое действительное число b обязательно попадает в один из полуинтервалов (см. рис 2)