Эквивалентные множества. Конечные и бесконечные множества

Пусть заданы множества E и F. Если существует взаимно-однозначное соответствие между множествами E и F, то множества E и F называют эквивалентными и обозначают E ~ F.

О б о з н а ч е н и я. Множества, составленные из n положительных целых чисел 1,2, …,n будем обозначать символом J_n, а множество всех целых чисел будем обозначать J.

Если для некоторого n ÎJ справедливо E ~ J_n, тогда будем говорить, что E- конечное множество.

Если в определении E ~ J_n, f биективная функция, то множество E составлено из элементов f (1), f (2), …, f (n). Если называть i номером элемента f (i), i =1,2, …, n; то конечное множество можно определить как множество, элементы которого можно пронумеровать от 1 до некоторого n. Такое множество называется n -элементным.

Если множество Е не ограничено, то его называют неконечным или бесконечным.

Если для любого фиксированного целого положительного n во множестве E найдутся (n +1) различный элемент, то множество E называется бесконечным.

Действительно, если E конечное множество, то для некоторого фиксированного n _o справедливо , т.е. множество E составлено из n _o элементов. Но во множестве E существует по крайней мере (n _o+1) различный элемент. Из этого противоречия и следует, что множество E-бесконечно. В качестве примера бесконечного множества можно рассматривать множество J.

Множества, эквивалентные множеству J, называются счётными.

Верхние и нижние границы. Ограниченные множества.

Пусть заданы действительные числа x и y. Если справедливо отношение x > y, то говорим, что число x больше числа y или число y меньше числа x. Если же выполняется соотношение x³y, то есть, если x=y или x>y, то будем говорить, что x не меньше y, а y не больше x, или, что то же самое, что y не превышает числа x. Если x>0, то x-положительное число; если x<0, то x-отрицательное число; если x³0, то x-неотрицательное число и если x£0, то x-неположительное число.

Множество, элементы которого суть действительные числа, называется числовым множеством. Обратим внимание на тот факт, что бесконечные числа +¥ и -¥ не входят в числовые множества.

Запись EÌ R означает, что E-числовое множество.

Пусть заданно некоторое числовое множество E. Если найдется такое действительное число α, что для всех хÎE справедливо неравенство x£ α, тогда множество E называется ограниченным сверху, а число a верхней границей множества E.

Заметим что, если a является верхней границей множества E, то и любое число a¢, большее, чем a, a¢>a, также является верхней границей множества E.

С помощью кванторов определение ограниченного сверху множества можно записать следующим образом: ($a)(" х Î Е): х£a (1)

Воспользовавшись правилом получения обратного утверждения, получим утверждение () в следующем виде ("a) ($х_aÎЕ): х_a>a, т.е. множество будет называться неограниченным сверху, или если для любого действительного числа a во множестве E найдется число x, большее, чем a.

Определение ограниченности множества снизу формируется совершенно аналогично. Необходимо существование такого числа b, что для всех xÎE выполняется неравенство x³b; т.е. символически ($b)("xÎE): b£x. Такое b называется нижней границей множества E.

Если выполняется условие ("b)($x_bÎE): x_b<b, т.е. если для любого действительного числа β найдётся элемент x_b из множества E, который меньше, чем β, то множество E называется неограниченным снизу.

Если множество E ограниченно и сверху, и снизу, то есть если выполняется условие ($a)($b)("xÎE): b£x£a, то множество E называется ограниченным.

Наибольший и наименьший элементы числового множества. Пусть задано числовое множество E. Если существует верхняя граница данного множества, содержащаяся в этом множестве, т.е.

($aÎE)("xÎE): x£a,

то говорят, что множество E имеет наибольший элемент и число a называют наибольшим или максимальным элементом.

Если найдется такой элемент bÎE, что неравенство x³β справедливо для всех элементов xÎE, то говорят, что множество E имеет наименьший или минимальный элемент, которым и является число b.

Наибольший и наименьший элементы множества E (конечно, если они существуют!) обозначаются соответственно символами max E и min E.