Супремум и инфимум

Наименьшая верхняя граница множества Е называется супремумом и обозначается символами sup E или .

Замечание. Supremum (на латинском языке) - означает самое большое.

Итак, для того, чтобы число a было супремумом множества, Е должны выполняться следующие два условия:

1. Число a является верхней границей множества Е, то есть для любого хÎЕ справедливо неравенство х£a.

2. Число a- наименьшая из верхних границ, то есть любое число , меньшее a, не будет верхней границей множества Е. Другими словами, для любого числа , удовлетворяющего неравенству , найдется такой элемент , что, будет выполняться неравенство: .

Определение супремума на языке кванторов записывается так:

Самая наибольшая нижняя граница множества Е называется инфимумом и обозначается inf E или .

Замечание. Infimum (на латинском языке)- означает самое нижнее.

Итак, чтобы число было инфимумом множества Е, должны выполняться следующие два условия:

1⁰. Число является нижней границей множества Е, то есть для любого хÎЕ выполняется х³ .

2⁰. Число является наибольшим среди всех нижних границ множества Е, то есть любое число b^¢, большее числа , не может быть нижней границей множества Е.

Определение инфимума на языке кванторов записывается так:

Супремум, и инфимум множества могут как принадлежать множеству, так и не принадлежать.

Теперь рассмотрим неограниченные множества. Согласно определению супремум неограниченного сверху числового множества Е есть +¥ и обозначается символами: sup Е = +¥ или = +¥.

Инфимум неограниченного снизу числового множества Е есть -¥, согласно определению, и обозначается символами: inf Е=-¥ либо .

1 – т е о р е м а. Пусть дано множество действительных чисел Е. Если для заданного числа a и для всех хÎЕ выполняется х£ a, то sup Е £ a.

Аналогично, если для определенного b и произвольных х ÎЕ выполняется х ³ b, то inf Е ³b.

2 – т е о р е м а. Если множество Е будет подмножеством числового множества F, тогда

sup Е £ s up F и inf Е ³ inf F. Другими словами, если множество шире, то его супремум больше, а инфимум меньше.

3 – т е о р е м а. Если произвольный элемент числового множества Е не превышает произвольного элемента числового множества F, то sup Е£ inf F. Здесь sup Е и inf F- действительные числа.

4 – т е о р е м а. Пусть дано множество действительных чисел Е. Тогда

sup (-Е)= - inf Е, inf (-Е)= - sup Е (на основании перманентности: -(+ ¥)= -¥, -(-¥)=+¥).

Таким образом, если из под символами sup или inf выносить знак "-", то их нужно поменять на противоположные символы.