Примеры. 1. Из определения сегмента следует, что число а является нижней границей, а число b верхней границей [a,b].

1. Из определения сегмента следует, что число а является нижней границей, а число b верхней границей [a,b].

2. Покажем, что у интервала (a,b) не существуют наибольший и наименьший элементы. Действительно пусть xÎ(a,b). Тогда из следующих неравенств

,

следует, что для любого элемента xÎ(a, b) существует элемент Î(a,b), больший, чем x и элемент Î(a, b) - меньший, чем x. Очевидно, что для интервала (a, b) число b является верхней границей, а число a является нижней границей.

Теперь покажем, что любой промежуток является бесконечным множеством.

Сначала проведем доказательство для сегмента. Для любого целого положительного n существует (n+1) разных чисел x_i= a + i (i =0,1,…, n), в сегменте [ a, b ].

Поскольку в любом промежутке найдется сегмент, являющийся подмножеством данного промежутка, то и любой промежуток является бесконечным множеством.