Производная

12. Приращение функции

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорцио­нальна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.

При сравнении значения функции f в некоторой фиксирован­ной точке хо со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х₀, удобно выражать разность f(x) — f(xo) через разность х — хо, пользуясь понятиями «приращение аргу­мента» и «приращение функции». Объясним их смысл.

Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрест­ности фиксированной точки хо. Разность х — хо называется при­ращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке хо и обозначается Ах. Таким образом,

Ах — х — Хо,

откуда следует, что х—Хо-\-Ах.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента Хо получило приращение Ах. Вследствие этого значение функции f изменится на величину

/(*)“/ М=/(*о + Ах)—f (Хо).

Эта разность называется приращением функции f в точке Хо, соответствующим приращению Ах, и обозначается символом А/ (читается «дельта эф»), т. е. по определению

Af = f{xo-{-Ax) — f(xo), (1)

откуда

f{x) = f (хо + Ax) = f (. хо) + A f.

Обратите внимание: при фиксированном хо приращение Af есть функция от Ах.

Af называют также приращением зависимой переменной и обозначают через А у для функции y=f(x).

О П р и м е р 1. Найдем приращения Ах и Af в точке Хо, если f (х) = х², Хо = 2 и: а) х=1,9; б) х = 2,\.

а) Ах = х — Хо= 1,9 — 2= — 0,1;

Л/=/(1,9)—/ (2)= 1,9² - 2²= -0,39;

б) Лх = х— jc₀ = 2,1 —2 = 0,1;

Л; = / (2,1) — / (2) = 2,1² — 2² = 0,41.

Пример 2. Найдем приращение А/ функции f

з точке хо, если приращение аргумента равно Ах.

По формуле (1) находим:

A/./(,₀₊Ax)_/(*)=_J^--L =

__ а'ц — (хр Ах)____________ Ах

Хо (-Хо Ах) Хо (хо -f- Ах)

Пример 3. Дан куб с ребром а. Выразим погрешность Д1/, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна Ах. По определению прира­щения х = а-|-Ах, тогда

АV = V (х) — V (а)=(а+Ах)³ — а³ = За²Ах + За (Дх)²+(Ах)³, ф

Рассмотрим график функции y — f(x). Геометрический смысл приращений Ах и A f (приращение А/ обозначают также А у) можно понять, рассмотрев рисунок 80.

Прямую /, проходящую через любые две точки графика функ­ции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент

k секущей, проходящей через точки (х₀; уо) и (х; у), равен ^у~^у°.

X х₀

Его удобно выразить через приращения Ах и Ду (рис. 80):

/г = tg а—^-.

^ь Ах

(Напомним, что угловой коэффициент прямой y — kx-\-b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.)

С помощью введенных обозначений приращений удобно также заражать среднюю скорость движения за промежуток времени

[to\ /о+А*]. Если точка движется по прямой и известна ее коор­дината x(t), то

V МЛ _A*_*(<o + Afl—*(<о) cpv^a^ д t д t

Эта формула верна и для At<0 (для промежутка [/о + А/; /₀])- В самом деле, в этом случае перемещение точки равно x(to) —

— x(f₀+Ax); длительность промежутка времени равна — At, и, следовательно,

1/ /ЛА _x{to) — x(to + bt)X (/₀ +Д<) — X (to)

*ср -д/ — Д/

Аналогично выражение называют средней

скоростью изменения функции на промежутке с концами хо и хо+Ах.

Упражнения

177. а) Стороны прямоугольника равны 15 м и 20 м. Найдите приращения его периметра и площади, если: 1) меньшую его сторону увеличили на 0,11 м; 2) большую его сторону увели­чили на 0,2 м.

б) Радиус круга равен 2 см. Найдите погрешность, допущен­ную при вычислении его площади, если погрешность при измерении длины радиуса равна: 1) 0,2 см; 2) AR-, 3) 0,1 см; 4) Л.

178. Найдите приращение функции f в точке х₀, если:

а) f(х)——х₀=—2, Ах=0,1;

б) /(х)=2х² — 3, х₀ = 3, Дх=—0,2;

в) / (х)=3х+ 1, *о = 5, Ах = 0,01;

г) f(x) = j-. *о = 2, Ах = 0,1.

179. Найдите приращения Ах и Af в точке хо, если:

\ f / \ 2 2л Зл

а) f(x)=cos^x, х₀=—, *=—;

б) f{x)—4х —х², хо = 2,5, х = 2,6;

в) f (x)=tg х, хо=~, х=^~;

^г) f (х)=У2х — 1, х₀=1,22, х= 1,345.

180. Выразите приращение функции f в точке х₀ через хо и Ах, если:

a) f (х) =1 — Зх²; б) f (x)=ax + b; в) f (х) = 2х²; г) f (х)= —^Х—.

181. На рисунке 81 изображен график движения автобуса. Найди­те среднюю скорость движения за промежуток времени: