![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
12. Приращение функции
Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.
При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке хо со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х0, удобно выражать разность f(x) — f(xo) через разность х — хо, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.
Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки хо. Разность х — хо называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке хо и обозначается Ах. Таким образом,
Ах — х — Хо,
откуда следует, что х—Хо-\-Ах.
Говорят также, что первоначальное значение аргумента Хо получило приращение Ах. Вследствие этого значение функции f изменится на величину
/(*)“/ М=/(*о + Ах)—f (Хо).
Эта разность называется приращением функции f в точке Хо, соответствующим приращению Ах, и обозначается символом А/ (читается «дельта эф»), т. е. по определению
Af = f{xo-{-Ax) — f(xo), (1)
откуда
f{x) = f (хо + Ax) = f (. хо) + A f.
Обратите внимание: при фиксированном хо приращение Af есть функция от Ах.
Af называют также приращением зависимой переменной и обозначают через А у для функции y=f(x).
О П р и м е р 1. Найдем приращения Ах и Af в точке Хо, если f (х) = х2, Хо = 2 и: а) х=1,9; б) х = 2,\.
а) Ах = х — Хо= 1,9 — 2= — 0,1;
Л/=/(1,9)—/ (2)= 1,92 - 22= -0,39;
б) Лх = х— jc0 = 2,1 —2 = 0,1;
Л; = / (2,1) — / (2) = 2,12 — 22 = 0,41.
Пример 2. Найдем приращение А/ функции f
з точке хо, если приращение аргумента равно Ах.
По формуле (1) находим:
A/./(,0+Ax)_/(*)=_J^--L =
__ а'ц — (хр Ах)____________ Ах
Хо (-Хо Ах) Хо (хо -f- Ах)
Пример 3. Дан куб с ребром а. Выразим погрешность Д1/, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна Ах. По определению приращения х = а-|-Ах, тогда
АV = V (х) — V (а)=(а+Ах)3 — а3 = За2Ах + За (Дх)2+(Ах)3, ф
Рассмотрим график функции y — f(x). Геометрический смысл приращений Ах и A f (приращение А/ обозначают также А у) можно понять, рассмотрев рисунок 80.
Прямую /, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент
k секущей, проходящей через точки (х0; уо) и (х; у), равен у~у°.
X х0
Его удобно выразить через приращения Ах и Ду (рис. 80):
/г = tg а—^-.
ь Ах
(Напомним, что угловой коэффициент прямой y — kx-\-b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.)
С помощью введенных обозначений приращений удобно также заражать среднюю скорость движения за промежуток времени
![]() |
[to\ /о+А*]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то
V МЛ _A*_*(<o + Afl—*(<о) cpva^ д t д t
Эта формула верна и для At<0 (для промежутка [/о + А/; /0])- В самом деле, в этом случае перемещение точки равно x(to) —
— x(f0+Ax); длительность промежутка времени равна — At, и, следовательно,
1/ /ЛА _x{to) — x(to + bt)X (/0 +Д<) — X (to)
*ср -д/ — Д/
Аналогично выражение называют средней
скоростью изменения функции на промежутке с концами хо и хо+Ах.
Упражнения
177. а) Стороны прямоугольника равны 15 м и 20 м. Найдите приращения его периметра и площади, если: 1) меньшую его сторону увеличили на 0,11 м; 2) большую его сторону увеличили на 0,2 м.
б) Радиус круга равен 2 см. Найдите погрешность, допущенную при вычислении его площади, если погрешность при измерении длины радиуса равна: 1) 0,2 см; 2) AR-, 3) 0,1 см; 4) Л.
178. Найдите приращение функции f в точке х0, если:
а) f(х)——х0=—2, Ах=0,1;
б) /(х)=2х2 — 3, х0 = 3, Дх=—0,2;
в) / (х)=3х+ 1, *о = 5, Ах = 0,01;
г) f(x) = j-. *о = 2, Ах = 0,1.
179. Найдите приращения Ах и Af в точке хо, если:
\ f / \ 2 2л Зл
а) f(x)=cos^x, х0=—, *=—;
б) f{x)—4х —х2, хо = 2,5, х = 2,6;
в) f (x)=tg х, хо=~, х=^~;
г) f (х)=У2х — 1, х0=1,22, х= 1,345.
180. Выразите приращение функции f в точке х0 через хо и Ах, если:
a) f (х) =1 — Зх2; б) f (x)=ax + b; в) f (х) = 2х2; г) f (х)= —Х—.
![]() |
181. На рисунке 81 изображен график движения автобуса. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени:
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1279 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!