Сведения из истории

1. О происхождении единиц измерения углов. Градусное из­мерение углов возникло в Древнем Вавилоне задолго до новой эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце совершает за

180 «шагов», и, значит, один «шаг» равен ^ развернутого угла.

В Вавилоне была принята шестидесятеричная система счисления, т. е. фактически числа записывались в виде суммы степеней числа

81

60, а не 10, как это принято в нашей десятеричной системе. Естест­венно поэтому, что для введения более мелких единиц измерения углов один «шаг» последовательно делился на 60 частей.

Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее сохранили математики Греции и Рима. Термины, ко­торыми мы пользуемся для названия угловых величин, имеют ла­тинские корни. Слово «градус» происходит от латинского gradus (шаг, ступень). В переводе с латинского minutus означает «умень­шенный». Наконец, secunda переводится как «вторая». Имеется в виду следующее: деление градуса на 60 частей, т. е. минуты,— это первое деление; деление минуты на 60 секунд — второе деле­ние градуса. Малоупотребительное название секунды — тер­цина, латинское tercina означает «третье» (деление градуса).

Принятая сейчас система обозначения величин углов полу­чила широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв.; ею уже пользовались такие известные астрономы, как Н. Коперник и Т. Б р а г е. Но еще К. Птолемей (II в. н. э.) количество градусов (которые он называл также просто частями) обозначал кружком, число минут — штрихом, а секунд — двумя штрихами.

Другая единица измерения углов — радиан — введена совсем недавно. Первое издание (это были экзаменационные билеты), содержащее термин «радиан», появилось в 1873 г. в Англии. Сна­чала в обозначениях указывалось, что имеется в виду именно ра-

Я

дианная мера (например, у--------------- угол в — радиан), но вскоре

индекс R (или г) стали опускать. Сам термин «радиан» происхо­дит от латинского radius (спица, луч). Если вспомнить опре­деление угла в один радиан (центральный угол, длина дуги кото­рого равна радиусу окружности), то выбор корня «рад» для названия такого угла представляется совершенно естественным.

2. Об истории тригонометрии. Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в заглавии книги немецкого теолога и мате­матика Питискуса. Происхождение этого слова греческое: xp/vtovov — треугольник, цетреш — мера. Иными словами, триго­нометрия — наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к триго­нометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад.

Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически раз­личные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла а, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол
величиной а, или как хорда удвоенной дуги (рис. 78).

В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индий­скими и арабскими учеными. В IV—V вв. по­явился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты (476 — ок. 550), име­нем которого назван первый индийский спут­ник Земли. Отрезок AM (рис. 78) он назвал ардхаджива (ардха — половина, джива — те­тива лука, которую напоминает хорда). Позд­нее привилось более краткое название джива.

Арабскими математиками в IX в. слово джива (или джиба) было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XII в. это слово было замене­но латинским синус (sinus — изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус — это сокращение ла­тинского выражения complementy sinus, т. е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cos а = sin (90° — а)).

Имея дело с тригонометрическими функциями, мы существенно выходим за рамки задачи «измерения треугольников». Поэтому известный математик Ф. Клейн (1849—1925) предлагал уче­ние о «тригонометрических» функциях называть иначе — гонио­метрией (латинское gonio означает «угол»). Однако это название не привилось.

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об опреде­лении длины тени. Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X в. арабским математиком Абу-л-Вафой, который соста­вил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными ев­ропейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позднее не­мецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «каса­ющийся» (вспомните: линия тангенсов — это касательная к еди­ничной окружности).

Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г. в работах венского математика Шерфера и известного фран­цузского ученого Ж. Л. Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Д. Бернулли, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «арк» происходит от латинского arcus (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin х, например,— это угол (а можно сказать, и дуга), синус кото­рого равен х.

Длительное время тригонометрия развивалась как часть гео­метрии, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Пожалуй, наи­большие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практи­ческий интерес (например, для решения задач определения место­нахождения судна, предсказания затмений и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферичес­ких треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики древности удачно справ­лялись с задачами, существенно более трудными (почитайте книги о сферической геометрии), нежели задачи на решение плоских треугольников, которыми вы занимались в IX классе.

Во всяком случае в геометрической форме многие известные вам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались древ­негреческими, индийскими, арабскими математиками. (Правда, формулы разности тригонометрических функций стали известны только в XVII в.— их вывел английский математик Непер для упрощения вычислений с тригонометрическими функциями. А пер­вый рисунок синусоиды появился в 1634 г.)

Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем первой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда приклад­ных задач, и в первую очередь задач астрономии.

Имея дело с готовыми таблицами или пользуясь калькулято­ром, мы часто не задумываемся о том, что было время, когда таблицы еще не были изобретены. Для того чтобы составить их, требовалось не только выполнить большой объем вычислений, но и придумать способ составления таблиц. Таблицы Птолемея точны до пяти десятичных знаков включительно.

Современный вид тригонометрии придал крупнейший матема­тик XVIII столетия J1. Э й л е р (1707—1783), швейцарец по про­исхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рас­сматривать функции произвольного угла, получил формулы приве­дения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь Эйлер успел сделать в математике: он оставил свыше 800 работ, доказал мно­гие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым раз­ным областям математики. (Несмотря на то что в 1776 г. Эйлер потерял зрение, он до последних дней продолжал диктовать все новые и новые работы.) Но если вы попытались оперировать с тригонометрическими функциями в геометрической форме, т. е. так, как это делали многие поколения математиков до Эйлера, то сумеете оценить заслуги Эйлера в систематизации тригономет­рии. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального приме-

Эйлер Леонард

(1707—1783) — крупнейший математик XVIII столетия. Ро­дился в Швейцарии. Долгие годы жил и ра­ботал в России, член Петербургской академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящие­ся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, вариационному исчислению, механике и другим приложениям матема­тики.

нения формул тригонометрии, доказательства стали намного ком­пактнее, проще.

3. Из истории понятия функции. Понятие функции, с которым вы знакомы с VII класса, возникло в математике сравнительно не­давно. Для того чтобы прийти к пониманию целесообразности его введения и получить первые достаточно четкие опреде­ления, потребовались усилия первоклассных математиков нес­кольких поколений. Революционные изменения в математике, происшедшие в XVII столетии, вызваны работами многих уче­ных, представляющих различные страны и народы. Но в пер­вую очередь следует назвать имена П. Ферма (1601 —1665), Р. Декарта (1596—1650), И. Ньютона (1643—1727), Г. В. Л е й б н и ц а (1646—1716).

Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы в 30-х годах XVII в., когда возникла аналити­ческая геометрия, характеризующаяся, в отличие от классичес­ких методов геометров Древней Греции, активным привлечением алгебры к решению геометрических задач. (Решая задачи по гео­метрии координатным методом, вы, по существу, пользуетесь методами аналитической геометрии.) Практически одновременно (и независимо друг от друга) французские математики П. Ферма и Р. Декарт заметили, что введение системы координат на плоскос­ти и задания фигур их уравнениями позволяют свести многие задачи геометрии к исследованию уравнений геометрических фи­гур. В честь Декарта, давшего развернутое изложение нового метода в книгах «Геометрия» и «Рассуждение о методе», прямо­угольная система координат позднее была названа декартовой. Су­щественно заметить, что одновременно формировалась и алгебра, создавалось «буквенное исчисление», то самое, с помощью которо-

(1596—1650)— великий французский философ, математик. Один из создателей аналитической геомет­рии. Ввел понятие переменной величины. Его идеи нашли многочисленных последовате­лей — «картезианцев» (латинизированное имя Декарта — Картезий). Главные работы — «Геометрия», «Рассуждение о методе».

го вы сейчас преобразовываете алгебраические выражения, реша­ете уравнения, текстовые задачи и т. д.

Великий английский ученый, математик и физик И. Ньютон, исследуя зависимости координат движущейся точки от времени, фактически уже занимался исследованием функций. Хотя не он ввел это понятие, Ньютон ясно осознавал его значение. Так, в 1676 г. он отмечал: «Я не мог бы, конечно, получить этих общих результатов, прежде чем не отвлекся от рассмотрения фигур и не свел все просто к исследованию ординат» (т. е. факти­чески функций от времени).

Сам термин «функция» впервые встречается в рукописи ве­ликого немецкого математика и философа Г. Лейбница — сна­чала в рукописи (1673 г.), а затем и в печати (1692 г.). Латинское слово function переводится как «свершение», «исполнение» (глагол fungor переводится также словом «выражать»). Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров, связан­ных с положением точки на плоскости. В ходе переписки Лейбниц и его ученик — швейцарский математик И. Бернулли (1667— 1748) постепенно приходят к пониманию функции как аналитиче­ского выражения и в 1718 г. дает такое определение: «Функцией переменной величины называется количество, составленное ка­ким угодно способом из этой переменной и постоянных».

Л. Эйлер в своей книге «Введение в анализ» (1748 г.) формули­ровал определение функции так: «Функция переменного количест­ва есть аналитическое выражение, составленное каким-либо спо­собом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств».

Эйлер же ввел и принятые сейчас обозначения для функций.

Современное определение числовой функции, в котором это понятие уже освобождалось от способа задания, было дано неза-

Ньютон Исаак

(1643—1727) — великий английский ученый. Одновременно с Г. Лейбницем разработал основы математи­ческого анализа. Создатель классической ме­ханики. Ньютону принадлежат выдающиеся открытия в оптике, других разделах физики и математики. Главный его труд — «Математи­ческие начала натуральной философии» — оказал колоссальное влияние на развитие естествознания.

висимо друг от друга русским математиком Н. И. Лобачев­ским (1834 г.) и немецким математиком Л. Дирихле (1837 г.). Основная идея этих определений заключалась в следующем: не существенно, каким образом (и в частности, необязательно путем задания аналитического выражения) каждому х поставлено в соответствие определенное значение у, важно только, что это соответствие установлено.

Современное понятие функции с произвольными областями оп­ределения и значений (необязательно числовыми — см. с. 26) сформировалось, по существу, совсем недавно, в первой половине текущего столетия, после работ создателя теории множеств Г. Кантора (1845—1918).

Сложный и, как видите, очень длительный путь развития по­нятия функции довольно типичен. Для того чтобы осознать необхо­димость введения нового абстрактного понятия, требуется выде­лить его в процессе решения многих конкретных задач, дать опре­деление, по возможности точно отражающее его смысл. История понятия функции хорошо иллюстрирует известную формулу В. И. Ленина: «... абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины». (Л е- н и н В. И. Поли. собр. соч.— Т. 29.— С. 152—153.)

К понятию функции математики пришли, отправляясь от конк­ретных и трудных задач математики и ее приложений. Это происходило в процессе создания нового мощного аппарата ис­следований — интегрального и дифференциального исчислений, с элементами которых вы познакомитесь в следующей главе. От­крытие интегрального и дифференциального исчислений, централь­ным понятием которых Эйлер провозгласил функцию («Весь ана­лиз бесконечного вращается вокруг переменных количеств и их функций»), резко расширило возможности математики.

Яркие характеристики глубины переворота в математике, происшедшего в XVII столетии, дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс, который, в частности, писал: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря это­му в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференци­альное и интегральное исчисление». (Маркс К., Энгельс Ф. Собр. соч.— Т. 20.— С. 573.)

Вопросы и задачи на повторение

1. 1) Что такое угол в 1 радиан? Запишите формулы, связыва­ющие радианную и градусную меры угла.

2) Выразите в радианной мере величину угла: а) 18°; б) -250°; в) -360°; г) 225°.

3) Выразите в градусной мере величину угла:

а) я; б) —2,5; в) —г) 3.

2. I) Дайте определения синуса и косинуса числа а.

2) Отметьте на единичной окружности точку Р_а. Найдите значения sin а и cos а (не пользуясь калькулятором или таблицами), если а равно: