![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. О происхождении единиц измерения углов. Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне задолго до новой эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце совершает за
180 «шагов», и, значит, один «шаг» равен ^ развернутого угла.
В Вавилоне была принята шестидесятеричная система счисления, т. е. фактически числа записывались в виде суммы степеней числа
81
60, а не 10, как это принято в нашей десятеричной системе. Естественно поэтому, что для введения более мелких единиц измерения углов один «шаг» последовательно делился на 60 частей.
Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее сохранили математики Греции и Рима. Термины, которыми мы пользуемся для названия угловых величин, имеют латинские корни. Слово «градус» происходит от латинского gradus (шаг, ступень). В переводе с латинского minutus означает «уменьшенный». Наконец, secunda переводится как «вторая». Имеется в виду следующее: деление градуса на 60 частей, т. е. минуты,— это первое деление; деление минуты на 60 секунд — второе деление градуса. Малоупотребительное название секунды — терцина, латинское tercina означает «третье» (деление градуса).
Принятая сейчас система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв.; ею уже пользовались такие известные астрономы, как Н. Коперник и Т. Б р а г е. Но еще К. Птолемей (II в. н. э.) количество градусов (которые он называл также просто частями) обозначал кружком, число минут — штрихом, а секунд — двумя штрихами.
Другая единица измерения углов — радиан — введена совсем недавно. Первое издание (это были экзаменационные билеты), содержащее термин «радиан», появилось в 1873 г. в Англии. Сначала в обозначениях указывалось, что имеется в виду именно ра-
Я
дианная мера (например, у--------------- угол в — радиан), но вскоре
индекс R (или г) стали опускать. Сам термин «радиан» происходит от латинского radius (спица, луч). Если вспомнить определение угла в один радиан (центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности), то выбор корня «рад» для названия такого угла представляется совершенно естественным.
2. Об истории тригонометрии. Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое: xp/vtovov — треугольник, цетреш — мера. Иными словами, тригонометрия — наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад.
Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла а, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол
величиной а, или как хорда удвоенной дуги (рис. 78).
В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными. В IV—V вв. появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты (476 — ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок AM (рис. 78) он назвал ардхаджива (ардха — половина, джива — тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее привилось более краткое название джива.
Арабскими математиками в IX в. слово джива (или джиба) было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XII в. это слово было заменено латинским синус (sinus — изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус — это сокращение латинского выражения complementy sinus, т. е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cos а = sin (90° — а)).
Имея дело с тригонометрическими функциями, мы существенно выходим за рамки задачи «измерения треугольников». Поэтому известный математик Ф. Клейн (1849—1925) предлагал учение о «тригонометрических» функциях называть иначе — гониометрией (латинское gonio означает «угол»). Однако это название не привилось.
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X в. арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позднее немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (вспомните: линия тангенсов — это касательная к единичной окружности).
Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г. в работах венского математика Шерфера и известного французского ученого Ж. Л. Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Д. Бернулли, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «арк» происходит от латинского arcus (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin х, например,— это угол (а можно сказать, и дуга), синус которого равен х.
Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с задачами, существенно более трудными (почитайте книги о сферической геометрии), нежели задачи на решение плоских треугольников, которыми вы занимались в IX классе.
Во всяком случае в геометрической форме многие известные вам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими, индийскими, арабскими математиками. (Правда, формулы разности тригонометрических функций стали известны только в XVII в.— их вывел английский математик Непер для упрощения вычислений с тригонометрическими функциями. А первый рисунок синусоиды появился в 1634 г.)
Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем первой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии.
Имея дело с готовыми таблицами или пользуясь калькулятором, мы часто не задумываемся о том, что было время, когда таблицы еще не были изобретены. Для того чтобы составить их, требовалось не только выполнить большой объем вычислений, но и придумать способ составления таблиц. Таблицы Птолемея точны до пяти десятичных знаков включительно.
Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия J1. Э й л е р (1707—1783), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь Эйлер успел сделать в математике: он оставил свыше 800 работ, доказал многие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым разным областям математики. (Несмотря на то что в 1776 г. Эйлер потерял зрение, он до последних дней продолжал диктовать все новые и новые работы.) Но если вы попытались оперировать с тригонометрическими функциями в геометрической форме, т. е. так, как это делали многие поколения математиков до Эйлера, то сумеете оценить заслуги Эйлера в систематизации тригонометрии. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального приме-
Эйлер Леонард
(1707—1783) — крупнейший математик XVIII столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, вариационному исчислению, механике и другим приложениям математики.
нения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.
3. Из истории понятия функции. Понятие функции, с которым вы знакомы с VII класса, возникло в математике сравнительно недавно. Для того чтобы прийти к пониманию целесообразности его введения и получить первые достаточно четкие определения, потребовались усилия первоклассных математиков нескольких поколений. Революционные изменения в математике, происшедшие в XVII столетии, вызваны работами многих ученых, представляющих различные страны и народы. Но в первую очередь следует назвать имена П. Ферма (1601 —1665), Р. Декарта (1596—1650), И. Ньютона (1643—1727), Г. В. Л е й б н и ц а (1646—1716).
Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы в 30-х годах XVII в., когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся, в отличие от классических методов геометров Древней Греции, активным привлечением алгебры к решению геометрических задач. (Решая задачи по геометрии координатным методом, вы, по существу, пользуетесь методами аналитической геометрии.) Практически одновременно (и независимо друг от друга) французские математики П. Ферма и Р. Декарт заметили, что введение системы координат на плоскости и задания фигур их уравнениями позволяют свести многие задачи геометрии к исследованию уравнений геометрических фигур. В честь Декарта, давшего развернутое изложение нового метода в книгах «Геометрия» и «Рассуждение о методе», прямоугольная система координат позднее была названа декартовой. Существенно заметить, что одновременно формировалась и алгебра, создавалось «буквенное исчисление», то самое, с помощью которо-
(1596—1650)— великий французский философ, математик. Один из создателей аналитической геометрии. Ввел понятие переменной величины. Его идеи нашли многочисленных последователей — «картезианцев» (латинизированное имя Декарта — Картезий). Главные работы — «Геометрия», «Рассуждение о методе».
го вы сейчас преобразовываете алгебраические выражения, решаете уравнения, текстовые задачи и т. д.
Великий английский ученый, математик и физик И. Ньютон, исследуя зависимости координат движущейся точки от времени, фактически уже занимался исследованием функций. Хотя не он ввел это понятие, Ньютон ясно осознавал его значение. Так, в 1676 г. он отмечал: «Я не мог бы, конечно, получить этих общих результатов, прежде чем не отвлекся от рассмотрения фигур и не свел все просто к исследованию ординат» (т. е. фактически функций от времени).
Сам термин «функция» впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Г. Лейбница — сначала в рукописи (1673 г.), а затем и в печати (1692 г.). Латинское слово function переводится как «свершение», «исполнение» (глагол fungor переводится также словом «выражать»). Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров, связанных с положением точки на плоскости. В ходе переписки Лейбниц и его ученик — швейцарский математик И. Бернулли (1667— 1748) постепенно приходят к пониманию функции как аналитического выражения и в 1718 г. дает такое определение: «Функцией переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной и постоянных».
Л. Эйлер в своей книге «Введение в анализ» (1748 г.) формулировал определение функции так: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо способом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств».
Эйлер же ввел и принятые сейчас обозначения для функций.
Современное определение числовой функции, в котором это понятие уже освобождалось от способа задания, было дано неза-
Ньютон Исаак
(1643—1727) — великий английский ученый. Одновременно с Г. Лейбницем разработал основы математического анализа. Создатель классической механики. Ньютону принадлежат выдающиеся открытия в оптике, других разделах физики и математики. Главный его труд — «Математические начала натуральной философии» — оказал колоссальное влияние на развитие естествознания.
висимо друг от друга русским математиком Н. И. Лобачевским (1834 г.) и немецким математиком Л. Дирихле (1837 г.). Основная идея этих определений заключалась в следующем: не существенно, каким образом (и в частности, необязательно путем задания аналитического выражения) каждому х поставлено в соответствие определенное значение у, важно только, что это соответствие установлено.
Современное понятие функции с произвольными областями определения и значений (необязательно числовыми — см. с. 26) сформировалось, по существу, совсем недавно, в первой половине текущего столетия, после работ создателя теории множеств Г. Кантора (1845—1918).
Сложный и, как видите, очень длительный путь развития понятия функции довольно типичен. Для того чтобы осознать необходимость введения нового абстрактного понятия, требуется выделить его в процессе решения многих конкретных задач, дать определение, по возможности точно отражающее его смысл. История понятия функции хорошо иллюстрирует известную формулу В. И. Ленина: «... абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины». (Л е- н и н В. И. Поли. собр. соч.— Т. 29.— С. 152—153.)
К понятию функции математики пришли, отправляясь от конкретных и трудных задач математики и ее приложений. Это происходило в процессе создания нового мощного аппарата исследований — интегрального и дифференциального исчислений, с элементами которых вы познакомитесь в следующей главе. Открытие интегрального и дифференциального исчислений, центральным понятием которых Эйлер провозгласил функцию («Весь анализ бесконечного вращается вокруг переменных количеств и их функций»), резко расширило возможности математики.
Яркие характеристики глубины переворота в математике, происшедшего в XVII столетии, дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс, который, в частности, писал: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление». (Маркс К., Энгельс Ф. Собр. соч.— Т. 20.— С. 573.)
Вопросы и задачи на повторение
1. 1) Что такое угол в 1 радиан? Запишите формулы, связывающие радианную и градусную меры угла.
2) Выразите в радианной мере величину угла: а) 18°; б) -250°; в) -360°; г) 225°.
3) Выразите в градусной мере величину угла:
а) я; б) —2,5; в) —г) 3.
2. I) Дайте определения синуса и косинуса числа а.
2) Отметьте на единичной окружности точку Ра. Найдите значения sin а и cos а (не пользуясь калькулятором или таблицами), если а равно:
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 7585 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!