JI ■ X JI _ Л. I

g f- Л/2 < — — <—+ЛЛ,

-|~+2лп<л:<-у- + 2лп, rt£Z. •

Упражнения

На единичной окружности отметьте точки Р,, для которых соответствующие значения t удовлетворяют данному нера­венству. Найдите множество значений /, удовлетворяющих неравенству и принадлежащих указанному промежутку (151—153).

151. a) sin /6[0; л]; б) sin*<—*6[—л; 0];

г) sin t< --Z-, ^6[—Jx; 0}

152.	a) cos (>f,	] =	6) cos/<—/e[	л	¥]
	в) cosO-i-, <e[—§-; f	•] =	г) cos /< —/e[	л т*	Зл-] 2 J
153.	a) tg t> —V3, *б(—-f-;	Я	);6) tg/<-L,re(-	я 2 ’	т)
	B) tg f;	h	r) tgt< — \, te(-	я ‘1Г;	f)
	Решите неравенства (154	— 157).
154.	a)	sin x^~;	6)	sin x< —
	в)	sin	r)	• ^ л/2 sin x< —
155.	a)	cos x^ —	6)	cos x<
	в)	cos x^^-\	Г)	cos x<Z —
156.	a)	tgjc<V3;	6)
	в)		Г)	tgx< —1.
157.	a)	2 cos x— 1^0;	6)	2 sin л' + д/2^0;
	в)	2 cos x — V^^O;	Г)	о л\ + СО

163. Найдите решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку:

a) sin х^—хв(—;б) cos-|->^, хб[— в) tgx^ — l, хб(—j-; -j-]; г) sin2*<^, *6[0; л].

11. Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений

В п. 9 было показано, как решать простейшие тригонометри­ческие уравнения. Решение более сложных тригонометрических уравнений требует знания формул тригонометрии. Рассмотрим не­которые примеры.

О Пример 1. Решим уравнение 2 sin²х-\-sin х— 1 =0.

Введем новую переменную y = s'mx. Тогда данное уравнение можно записать в виде 2*/²+*/—• 1 =0. Мы получили квадратное

уравнение. Его корнями служат у\ =-~ и у₂= — 1. Следовательно,

sinx = — или sin лг= — 1. В первом случае получим решения

*=(— l)^ft arcsin т. е. х=(— l)^k -~-f nk, k£Z.

Во втором случае имеем:

х= — \-2лп, n£Z.

Пр и мер 2. Решим уравнение 6 sin² х + 5 cos х — 2 = 0. Заменяя sin²х на 1— cos²*, получим относительно cos х квадратное уравнение 6(1— cos² х)+5 cos х—2=0, откуда

— 6 cos² х + 5 cos х+4=0, т. е. 6 cos² х—5 cos х—4 = 0. Как и в примере 1, введем новую переменную cosa:=у. Тогда

6у²—5у—4 = 0, откуда у——или */=1-1-. Уравнение

1 1

cosx=l — не имеет решений, так как 1 —>1. Решая уравнение

О О

cos х——находим:

Пример 3. Решим уравнение tg х+2 ctg х=3.

Обозначим tg х через у. Поскольку ctg х=~-, получаем урав-

2 ^Х нение */+~=3, которое приподится к квадратному tf — Ъу 4-2=0

(при условии уФ 0). Его корни у = 2 и у= 1.

1) tgx=2, x=arctg 2 + я/г, т. е. x=xo-\-nk, k£Z, где Хо = = arctg 2«1,1072.

2) tgлг — 1, k£Z.

Пример 4. Решим уравнение 3 sin² х—4 sin х cos х+ -f cos² х=0.

Значения х, при которых cos х=0, не являются решениями это­го уравнения, так как если cos х=0, то должно выполняться равен­ство 3sin²x=0, а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos² х (или на sin² х) и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению 3 tg² х—4 tg x+1 =0, откуда tgx=l или

tg*=-i-. Следовательно,

х=-^—{-пп, n£Z_t или х = arctg 4~+я/г, n£Z.

4 О

Пр и мер 5. Решим уравнение 6 sin² х+4 _sin х cos х— 1.

Заменим 1 в правой части уравнения на sin² x-f-cos² х. После выполнения соответствующие преобразований получаем 5 sin² х+4 sin х cos х—cos² х = 0. Воспользуемся приемом реше­ния подобного уравнения, который описан в примере 4. В резуль­тате имеем tgx=4-, tgx= — 1. Следовательно,

и

x = arctg4~+яп, n£Z, или х=—\-nk, k£Z.

О 4

Пример 6. Уравнение sin² х —sin 2х = 0 после замены sin 2х на 2 sin х cos х приводится к виду sin² х — 2 sin х cos х = 0.

Разложим левую часть на множители: sin х (sin х — 2 cos х) = 0, откуда sinx = 0, т. е. х = лп, n£Z, или sin х — 2cosx = 0, откуда tgx=2 и х=arctg 2+яп, n£Z, т. е. х=х<) + яп, n£Z, где хо = = arctg 2» 1,1072.

Как и в примере 4, можно было разделить обе части уравне­ния на cos²* и получить уравнение tg²x — 2tgx=0. Если же делить на sin² х, то нужно учесть, что те х, при которых sin х=0,— решения данного уравнения. Поэтому к корням полученного пос­ле деления на sin² х уравнения ctg х—^-=0 надо добавить корни уравнения sinx=0. #

Многие другие уравнения, например уравнение sin² х— —sin х cos x-f-cos² х=0 или уравнение sin³ х-\-2 sin² х cos х —

— 5 sin х cos² x-f-2 cos³ x=0 и т. п., также решаются делением

левой и правой частей уравнения на косинус (или синус) в степени, равной степени уравнения. Предварительно надо проверить, явля­ются ли значения х, для которых cos х = 0 (sin х = 0 при делении на sin”*), решениями данного уравнения. Так, уравнения вто­рой степени делят на cos² х (или sin²*), а третьей — на cos³ х (или sin³ л:) и заменой tg (или ctg л:) на у получают алгебраи­ческое уравнение.

О Пр и м е р 7. Решим уравнение cos 6x + cos 2л; = 0.

Преобразовав сумму косинусов в произведение, получим 2 cos 4х cos 2х = 0. Это уравнение обращается в верное равенство, если cos 4л: — 0 или cos 2х = 0, т. е.

л * jx/j а ^ #■ ЭХ | лп ^

*=—+—, k£Z, или *=—+—, nez.

Пример 8. Решим систему уравнений

{

5л

^х~«=т■

sin х=2 sin у.

5 я

Из первого уравнения находим у = х—Тогда 2 sin у =

= 2 sin^—= 2^sin х cos cos х sin = 2^sin л>-^—h

-fy^cos л:^ =sin x-{—\[3 cos x. Второе уравнение системы примет вид sin х — sin л:+УЗ cos х, откуда соэл: = 0, х=-~-\-nti, где ti£Z. Далее находим у — х — ^р=-|~{-лп—-у = лл — n£Z.

Ответ. п; лп—, n£Z. #

Упражнения

Решите уравнения (164—168).

164. а) 2 sin² x: + sin х— 1 =0; в) 2 sin² л: —sin л:—1 =0;

165. а) 6 cos² л: + соэ х— 1 =0;

в) 4 cos² х — 8 cos х-}-3 = 0;

166. а) 2 cos² A: + sin лг-f- I =0;

в) 4 cos х = 4 — sin² л:;

167. а) 3 tg² л: + 2 tg х— 1 =0;

в) 2 tg² л: + 3 tg х—2 = 0;

168. а) 2 cos² x-\--\f3 cos х = 0;

^в) tg² х — 3 tg л: = 0;

б) 3 sin² х — 5 sin х — 2 = 0;

г) 4 sin² х-\-11 sin х—3 = 0.

б) 2 sin² х-\-3 cos л: = 0;

г) 5 sin² х -f- 6 cos х — 6 = 0.

б) cos² х + 3 sin x = 3;

г) 8 sin² лг + cos x-\-1 =0.

6) tg x — 2 ctg x-\-1 =0; r) 2 ctg x — 3 tg л; + 5 = 0.

6) 4 cos² x — 3 = 0; r) 4 sin² x— 1 = 0.

Решите уравнения (169—174).

169. а) 3 sin² х4sin х cos х = 2 cos² х;

б) 2 cos² х — 3 sin х cos x4sin² x=0;

в) 9 sin x cos x — 7 cos² x = 2 sin² x:

	г)	2 sin2 х — sin х cos х	= cos2 J
170.	а)	4 sin2x — sin 2x = 3;
	в)	sin 2x — cos x = 0;
171.	а)	2 sin2 х=Уз sin 2x;
	в)	sin x4л/З cos x=0;
172.	а)	sin 2x42 cos 2x= 1	у
	в)	3 sin 2x4 cos 2x = 2	cos2 x;
173.	а)	sin 4x4 sin2 2x = 0;	6)
	в)	5 —2- 3sinx + 4 ’	r)
174.	а)	cos 5x — cos 3x = 0;	6)
	в)	sin 5x —sin x = 0;	r)

6) cos 2x—2 cos x— 1; r) sin 2x44 cos² x = 1.

6) -yfetgx—\[3ctgx = 2; r) tg x = 3 ctg x.

6) sin⁴ —cos⁴^-=-|-;

г) 1 — cos x = 2 sin

—³ =1-

5 tg лг+8

1— sin 2x=^cos —sin.

sin 7x — sin x=cos 4x; cos 3x4 cos x=4 cos 2x.

Решите системы уравнений (175—176).

175.	a)	1 x4 t/ = n, I cos x—cos y= 1;	6)
	B)|	| x4t/=n, 1 sin x4sin y= 1;	r)
176.	a)	1 sin x —cos tv = 0, I sin2 X4COS2y—2\	6)
	B)l	| sin x 4 cos у — 1, [ sin2x—cos y= I;	Г)

y 2 ’ cos2 x4sin2 y=2\

i я 4 y =

2 ’ sin2 x — sin2 у — I.

tg^tg^=4-;