Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

JI ■ X JI _ Л. I



g f- Л/2 < — — <—+ЛЛ,

-|~+2лп<л:<-у- + 2лп, rt£Z. •

Упражнения

На единичной окружности отметьте точки Р,, для которых соответствующие значения t удовлетворяют данному нера­венству. Найдите множество значений /, удовлетворяющих неравенству и принадлежащих указанному промежутку (151—153).

151. a) sin /6[0; л]; б) sin*<—*6[—л; 0];

г) sin t< --Z-, ^6[—Jx; 0}

152. a) cos (>f, ] = 6) cos/<—/e[ л ¥]
  в) cosO-i-, <e[—§-; f •] = г) cos /< —/e[ л т* Зл-] 2 J
153. a) tg t> —V3, *б(—-f-; Я );6) tg/<-L,re(- я 2 ’ т)
  B) tg f; h r) tgt< — \, te(- я ‘1Г; f)
  Решите неравенства (154 — 157).    
154. a) sin x^~; 6) sin x< —    
  в) sin r) • ^ л/2 sin x< —    
155. a) cos x^ — 6) cos x<    
  в) cos x^^-\ Г) cos x<Z —    
156. a) tgjc<V3; 6)      
  в)   Г) tgx< —1.    
157. a) 2 cos x— 1^0; 6) 2 sin л' + д/2^0;    
  в) 2 cos x — V^^O; Г) о л\ + СО    

163. Найдите решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку:

a) sin х^—хв(—;б) cos-|->^, хб[— в) tgx^ — l, хб(—j-; -j-]; г) sin2*<^, *6[0; л].

11. Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений

В п. 9 было показано, как решать простейшие тригонометри­ческие уравнения. Решение более сложных тригонометрических уравнений требует знания формул тригонометрии. Рассмотрим не­которые примеры.

О Пример 1. Решим уравнение 2 sin2х-\-sin х— 1 =0.

Введем новую переменную y = s'mx. Тогда данное уравнение можно записать в виде 2*/2+*/—• 1 =0. Мы получили квадратное

уравнение. Его корнями служат у\ =-~ и у2= — 1. Следовательно,

sinx = — или sin лг= — 1. В первом случае получим решения

*=(— l)ft arcsin т. е. х=(— l)k -~-f nk, k£Z.

Во втором случае имеем:

х= \-2лп, n£Z.

Пр и мер 2. Решим уравнение 6 sin2 х + 5 cos х — 2 = 0. Заменяя sin2х на 1— cos2*, получим относительно cos х квадратное уравнение 6(1— cos2 х)+5 cos х—2=0, откуда

— 6 cos2 х + 5 cos х+4=0, т. е. 6 cos2 х—5 cos х—4 = 0. Как и в примере 1, введем новую переменную cosa:=у. Тогда

2—5у—4 = 0, откуда у——или */=1-1-. Уравнение

1 1

cosx=l — не имеет решений, так как 1 —>1. Решая уравнение

О О

cos х——находим:

Пример 3. Решим уравнение tg х+2 ctg х=3.

Обозначим tg х через у. Поскольку ctg х=~-, получаем урав-

2 Х нение */+~=3, которое приподится к квадратному tf — Ъу 4-2=0

(при условии уФ 0). Его корни у = 2 и у= 1.

1) tgx=2, x=arctg 2 + я/г, т. е. x=xo-\-nk, k£Z, где Хо = = arctg 2«1,1072.

2) tgлг — 1, k£Z.

Пример 4. Решим уравнение 3 sin2 х—4 sin х cos х+ -f cos2 х=0.

Значения х, при которых cos х=0, не являются решениями это­го уравнения, так как если cos х=0, то должно выполняться равен­ство 3sin2x=0, а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos2 х (или на sin2 х) и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению 3 tg2 х—4 tg x+1 =0, откуда tgx=l или

tg*=-i-. Следовательно,

х=-^—{-пп, n£Zt или х = arctg 4~+я/г, n£Z.

4 О

Пр и мер 5. Решим уравнение 6 sin2 х+4 sin х cos х— 1.

Заменим 1 в правой части уравнения на sin2 x-f-cos2 х. После выполнения соответствующие преобразований получаем 5 sin2 х+4 sin х cos х—cos2 х = 0. Воспользуемся приемом реше­ния подобного уравнения, который описан в примере 4. В резуль­тате имеем tgx=4-, tgx= — 1. Следовательно,

и

x = arctg4~+яп, n£Z, или х=—\-nk, k£Z.

О 4

Пример 6. Уравнение sin2 х —sin 2х = 0 после замены sin 2х на 2 sin х cos х приводится к виду sin2 х — 2 sin х cos х = 0.

Разложим левую часть на множители: sin х (sin х — 2 cos х) = 0, откуда sinx = 0, т. е. х = лп, n£Z, или sin х — 2cosx = 0, откуда tgx=2 и х=arctg 2+яп, n£Z, т. е. х=х<) + яп, n£Z, где хо = = arctg 2» 1,1072.

Как и в примере 4, можно было разделить обе части уравне­ния на cos2* и получить уравнение tg2x — 2tgx=0. Если же делить на sin2 х, то нужно учесть, что те х, при которых sin х=0,— решения данного уравнения. Поэтому к корням полученного пос­ле деления на sin2 х уравнения ctg х—^-=0 надо добавить корни уравнения sinx=0. #

Многие другие уравнения, например уравнение sin2 х— —sin х cos x-f-cos2 х=0 или уравнение sin3 х-\-2 sin2 х cos х —

— 5 sin х cos2 x-f-2 cos3 x=0 и т. п., также решаются делением

левой и правой частей уравнения на косинус (или синус) в степени, равной степени уравнения. Предварительно надо проверить, явля­ются ли значения х, для которых cos х = 0 (sin х = 0 при делении на sin”*), решениями данного уравнения. Так, уравнения вто­рой степени делят на cos2 х (или sin2*), а третьей — на cos3 х (или sin3 л:) и заменой tg (или ctg л:) на у получают алгебраи­ческое уравнение.

О Пр и м е р 7. Решим уравнение cos 6x + cos 2л; = 0.

Преобразовав сумму косинусов в произведение, получим 2 cos 4х cos 2х = 0. Это уравнение обращается в верное равенство, если cos 4л: — 0 или cos 2х = 0, т. е.

л * jx/j а ^ #■ ЭХ | лп ^

*=—+—, k£Z, или *=—+—, nez.

Пример 8. Решим систему уравнений

{

х~«=т■

sin х=2 sin у.

5 я

Из первого уравнения находим у = х—Тогда 2 sin у =

= 2 sin^—= 2^sin х cos cos х sin = 2^sin л>-^—h

-fy^cos л:^ =sin x-{—\[3 cos x. Второе уравнение системы примет вид sin х — sin л:+УЗ cos х, откуда соэл: = 0, х=-~-\-nti, где ti£Z. Далее находим у — х — ^р=-|~{-лп—-у = лл — n£Z.

Ответ. п; лп—, n£Z. #

Упражнения



Решите уравнения (164—168).

164. а) 2 sin2 x: + sin х— 1 =0; в) 2 sin2 л: —sin л:—1 =0;

165. а) 6 cos2 л: + соэ х— 1 =0;

в) 4 cos2 х — 8 cos х-}-3 = 0;

166. а) 2 cos2 A: + sin лг-f- I =0;

в) 4 cos х = 4 — sin2 л:;

167. а) 3 tg2 л: + 2 tg х— 1 =0;

в) 2 tg2 л: + 3 tg х—2 = 0;

168. а) 2 cos2 x-\--\f3 cos х = 0;

в) tg2 х — 3 tg л: = 0;

б) 3 sin2 х — 5 sin х — 2 = 0;

г) 4 sin2 х-\-11 sin х—3 = 0.

б) 2 sin2 х-\-3 cos л: = 0;

г) 5 sin2 х -f- 6 cos х — 6 = 0.

б) cos2 х + 3 sin x = 3;

г) 8 sin2 лг + cos x-\-1 =0.

6) tg x — 2 ctg x-\-1 =0; r) 2 ctg x — 3 tg л; + 5 = 0.

6) 4 cos2 x — 3 = 0; r) 4 sin2 x— 1 = 0.


Решите уравнения (169—174).

169. а) 3 sin2 х4sin х cos х = 2 cos2 х;

б) 2 cos2 х — 3 sin х cos x4sin2 x=0;

в) 9 sin x cos x — 7 cos2 x = 2 sin2 x:


  г) 2 sin2 х — sin х cos х = cos2 J
170. а) 4 sin2x — sin 2x = 3;  
  в) sin 2x — cos x = 0;  
171. а) 2 sin2 х=Уз sin 2x;  
  в) sin x4л/З cos x=0;  
172. а) sin 2x42 cos 2x= 1 у
  в) 3 sin 2x4 cos 2x = 2 cos2 x;
173. а) sin 4x4 sin2 2x = 0; 6)
  в) 5 —2- 3sinx + 4 ’ r)
174. а) cos 5x — cos 3x = 0; 6)
  в) sin 5x —sin x = 0; r)

6) cos 2x—2 cos x— 1; r) sin 2x44 cos2 x = 1.

6) -yfetgx—\[3ctgx = 2; r) tg x = 3 ctg x.

6) sin4 —cos4^-=-|-;

г) 1 — cos x = 2 sin

3 =1-

5 tg лг+8

1— sin 2x=^cos —sin.

sin 7x — sin x=cos 4x; cos 3x4 cos x=4 cos 2x.



Решите системы уравнений (175—176).





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1074 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.012 с)...