Х л \ д/2

^5Ш(т-То)⁼ 2 •

По формуле (6)

-§—-^Г=(— 0* arcsin (—k£Z.

Так как arcsin—f". имеем:

*=-£-+(-1)*^+,^-+2л*, kez. т

3. Уравнение tg t=a. При любом а на интервале ^

имеется ровно одно такое число t, что tg t = a,— это arctg а. Поэтому уравнение

tg t — a (7)

имеет на интервале ^ —jjp дли­ной л единственный корень. Функция тангенс имеет период л. Следова­тельно, остальные корни уравнения (7) отличаются от найденного на лп (n£Z\ т. е.

f = arctg а + ял, n£Z. (8)

Решение уравнения tg t=a удобно проиллюстрировать с помощью линии тангенсов (рис. 71). Напомним, что tg / — это ордината точки T_t пересе­чения прямой OP_tl с линией тангенсов (см. п. 1). Для любого числа а на линии тангенсов есть лишь одна точ­ка с ординатой а, это точка Т{ 1; о).

Прямая ОТ пересекается с единичной

окружностью в двух точках; при этом интервалу (—

\ ^ 2 /

соответствует точка P_ti правой полуокружности, такая, что

/i = arctg а.

О Пример 7. Решим уравнение tgх=УЗ.

По формуле (8) находим решение х — arctgУЗ-{-лп, n£Z,

а так как arctgУ«3~-г-, приходим к окончательному ответу:

О

х—-~-\-лп, n£Z.

Пример 8. Решим уравнение tg х= 5,177.

Из формулы (8) следует, что

х= arctg 5,177 + лл, п £Z.

С помощью калькулятора находим arctg 5,177«1,3800. Пример 9. Решим уравнение ctg х— —\J3.

Это уравнение равносильно уравнению tg х= —р _э которое

уз ’

решаем с помощью формулы (8):

х = arctg(—-^)+лл=—|-+лп, rt£Z. #

Упражнения Решите уравнения (136—143).

136. a) cosx=^; б) cos в) cos х=^-\ г) cos х= — 1.

137.а) 2 cos х+-\/3 = 0; б) У2 cos х— 1 =0; в) 2 cos х+У2=0; г) 2 cos х— 1=0.

138. a) sin *=-£-; 6) sin x = —в) sin x = —r) sin x= — 1

139. a) V2 sin *+1=0; 6) 2 sin x-\--yfS = 0; в) 2 sin x— 1=0; r) 2 sin x-f л/2 = 0.

140. a) tgx =—p; 6) ctgx=V3; в) tgx=l; r) tgx = 0.

r-V³

141. a) tgлг+л/3 = 0; 6) ctgx+l=0;

^в) л/3 tgx—1=0; r) yS’ctgx—1=0.

142. a) sin 2x = y~\ 6) cos -^-= —в) sin -^-=г) cos 4x = 0.

143. a) sin x = — 0,6; 6) ctg x = 2,5; в) cos x=0,3; r) tg x— —3,5.

Решите уравнения (144—147).

144. a) sin(— -|-)=^; 6) tg(—4x)=-^;

в) cos(—2x)=—r) ctg(—) = 1.

145. a) 2cos^y----------- — V^; 6) 2sin^3x—— д/2;

B) V3tg(f+f)=3; r) sin(f—£-) + l=0.

146. a) cos(-^~2jc) = — 1; 6) 2 sin_=л/3;

в) ^(т“1") ⁼ ~^{1; г) 2 cos}(x“^3x)=^-

147. a) sin Зх cos х —cos Зх sin х=^5; 6) sin²-£—cos²4-=l;

2 ⁷ 4 4

\ • г» г» 1 \ • * я JC. я л/2

в) sin2xcos2x =——; г) sin— cos ——cos — sin —=-|-.

148. Для каждой из функций

*/ = 2cos(2x —и y = sin(^~+-j-)

найдите координаты общих точек ее графика с прямой:

а) х = 4,5л; б) у— — 1; в) y= 1; г) у = 0.

149. Решите уравнения ^cos(~£—= — I и найдите для каждого из них:

а) наименьший положительный корень;

/г\ Г Я Зл 1

б) корни, принадлежащие промежутку ——; -у I;

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие промежутку (— л; -2-).

150. Докажите, что все решения уравнения ctg t=a находятся по формуле / = arcctg а+лп, n£Z.

10. Решение простейших тригонометрических неравенств

Решение неравенств, содержащих тригонометрические функ­ции, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида sin f<a, cos t>a, tg t^a и т. п.

Рассмотрим на примерах способы их решения.

О П р и м е р 1. Решим неравенство sin —у.

Все точки P_t единичной окружности при значениях /, удовлет­воряющих данному неравенству, имеют ординату, большую или

равную —Y' Множество всех таких точек — дуга /, выделенная

на рисунке 72. Найдем условие принадлежности точки P_t этой дуге.

Точка Р_и лежит на правой полуокружности, ордината P_tl рав­на —и, следовательно, в качестве t\ удобно взять значение t\ — arcsin ^ = —2.. Представим себе, что мы совершаем об­

ход дуги / от точки P_tl к P_h против часовой стрелки. Тогда t2>t\,

и, как легко понять, /г = л— arcsin^—1-^ =Zp.. Таким образом, получаем, что точка P_t принадлежит дуге /, если —

О 6

Итак, решения неравенства, принадлежащие промежутку —длиной 2л, таковы: —Вследствие перио-

2 2 J 6 о

дичности синуса остальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2лп, где n£Z. Приходим к ответу:

—~+2ля<*<^+2лп, n£Z.

Пример 2. Решим неравенство sin tc~.

Это неравенство означает, что все точки Р/ единичной окруж­ности при значениях удовлетворяющих данному неравенству,

Имеют ординату, меньшую Множество всех таких точек — ду­га /, выделенная на рисунке 73. Концы ееРииРине входят в рассматриваемое множество, поскольку их ординаты не меньше, а равны Чтобы найти условие, при котором точка Р/ принад­лежит указанному множеству, найдемt\и /2. Возьмем

.. -\/2 я