Т. е. число U принадлежит отрезку |jy-; -y-J

Итак, уравнение (3) на отрезке £—y-J имеет два реше­ния: fi = arcsin а и /г = л—arcsin а (совпадающие при а= 1). Учи­тывая, что период синуса равен 2л, получаем такие формулы для записи всех решений уравнения:

t = arcsin а+2ял, (4)

f = л—arcsin а+2л«, n£Z. (5)

Удобно решения уравнения (3) записывать не двумя, а од­ной формулой:

t = (— 1)^fcarcsin а+nk, k£Z. (6)

Нетрудно убедиться, что при четных k = 2п из формулы (6) находим все решения, записанные формулой (4); при нечетных k—2n+ \ —решения, записываемые формулой (5).

Решение уравнения (3) удобно иллюстрировать на единичной окружности. По определению sin t есть ордината точки P_t единич-

ной окружности. Если ю| < 1, то таких точек две (рис. 70, а); при а= ± 1 — одна (рис. 70, б).

Если а— 1, то числа arcsin а и л — arcsin а совпадают, поэтому решение уравнения

sin / = 1

принято записывать так:

/=-£-+2лл, n£Z.

При а= — I и а=0 принята следующая запись решений: sin /= — 1, если t=—^~Ь2лп, n£Z.. sin/ = 0, если t=nn, n£Z.

О Пример 4. Решим уравнение sin По формуле (6)

х = (—1)* arcsin k6Z, т. е.

х=(— 1)* ~+ як, k£Z.

Пример 5. Решим уравнение sin х = 0,3714.

Согласно формуле (6)

х — (—1)" arcsin 0,3714 + лл, n£Z.

С помощью калькулятора находим arcsin 0,3714^0,3805. Пример 6. Решим уравнение sin—~) = -тг- Функция синус нечетна. Поэтому