V л/2 • л/3

г) arccos —arcsin-у.

128. a) arctg 1—arctg УЗ; 6) arctg 1 — arctg(— 1);

в) arctg (—>/5) + arctg 0; r) arctgarctg УЗ.

V3

129. Сравните числа:

a) arcsin^—^ и arccos 6) arccos^—^ и arctg(— 1);

в) arctg-\/3 и arcsin 1; г) arccos^ — и arcsin-^-.

Расположите числа в порядке возрастания (134 135)

134. a) arcsin-J-, arcsin (—0,3), arcsin 0,9;

О

б) arcsin (— 0,5), arcsin (— 0,7), arcsin-^-;

в) arccos 0,4, arccos (— 0,2), arccos (— 0.8); r) arccos 0,9, arccos (— 0,6), arccos

135. a) arctg 100, arctg (— 5), arctg 0,7;

б) arcctg 1,2, arcctg л, arcctg (— 5);

в) arctg (—95), arctg 3,4, arctg 17;

r) arcctg (— 7), arcctg (— 2,5), arcctg 1,4.

9. Решение простейших тригонометрических уравнений

1. Уравнение cos t — a. Очевидно, что если |а|>1, то урав­нение

cos t — a

не имеет решений, поскольку |cosf|^l для любого t.

Пусть |а|^1. Надо найти все такие числа /, что cos t = a. На отрезке [0; я] существует в точности одно решение уравнения (1) — это число arccos а.

Косинус — четная функция, и, значит, на отрезке [—я; 0] уравнение (1) также имеет в точности одно решение — число

— arccos а. Итак, уравнение cos t = a на отрезке [—л; я] длиной 2л имеет два решения: /=±arccos а (совпадающие при а= 1).

Вследствие периодичности функции cos все остальные реше­ния отличаются от этих на 2лп (n£Z), т. е. формула корней урав­нения (1) такова:

t— ± arccos а-\-2пп₁ n£Z.

(Обратите внимание: этой формулой можно пользоваться только при |а| < 1.)

Решение уравнения (1) можно проиллюстрировать на единич­ной окружности. По определению cos t — это абсцисса точки Р/ единичной окружности. Если |а|<;1, то таких точек две (рис. 69, а); если же а=1 или а= —1, то одна (рис. 69,6).

При а=1 числа arccos а и —arccos а совпадают (они равны нулю), поэтому решения уравнения

cos t — 1

принято записывать в виде

t — 2nn, ti^Z.

Рис. 69

Особая форма записи решений уравнений (1) принята также для а= — 1 и а = 0:

cost— — 1 при t = n + 2nn, n£Z\ cos/ = 0 при / = -|—ЛЯ, ti£Z.

О Пример 1. Решим уравнение cos х = -^-.

По формуле (2)

х=±arccos-^—\-2лп, n£Z.

1 Jl

Поскольку arccos, приходим к ответу

О

х= ±-^-+2л/?, n£Z.

Пример 2. Решим уравнение cos х= —0,2756.

По формуле (2)

х— Hh arccos (— 0,2756) -{- 2л /?, ti£Z.

Значение arccos (— 0,2756) находим с помощью калькулятора; оно приближенно равно 1,8500. Итак,

х=±х₀ + 2лл, n£Z, где х₀«1,8500.

Пример 3. Решим уравнение cos^2х—J По формуле (2)

2х—^-= ±arccos(^—-тг) + 2лл, n£Z, т. е. 2х—J-=±^-+ + 2лл, откуда

х=-^-±||+лп, n£Z. ф

2. Уравнение sin t—a. Уравнение

sin t = a (3)