Определение.Функция /убывает на множестве Р, если для любых х\ и х2 из множества Р, таких, что *2>*ь выполнено неравенство f (х2) </ (*i)

Иными словами, функция / называется возрастающей на мно­жестве Р, если большему значению аргумента из этого множест­ва соответствует большее значение функции. Функция f называет­ся убывающей на множестве Р, если большему значению аргумен­та соответствует меньшее значение функции.

О Пример 1. Докажем, что функция f(x)=xⁿ (n£N) при нечетном п возрастает на всей числовой прямой, а при четном п функция /(л) = х" возрастает на промежутке [0; оо) и убывает на промежутке (— оо; 0].

Докажем сначала, что функция f(x)=x* возрастает на про­межутке [0; оо) при любом натуральном п. Пусть X2>*i^0. Тогда по свойству степени X2>jti. Теперь рассмотрим случай четного п. Пусть х\ <х₂^0. Тогда —х\>—х₂^0 и (—*i)”>‘ >(— *2)"^0, т. е. xi>x$. Тем самым доказано, что функция f (х)=х^п убывает на (— оо; 0] при четном п. Осталось рассмотреть случай нечетного п. Если х\ < 0 < х₂, то х!\ < 0 < Если х\ < х₂ 0,

ТО —Xi > —Х₂^0 И ПОТОМу (— JCi)ⁿ>(— *2)^П^0, Т. е. — Х|> —

откуда следует, что м^>хЬ Итак, доказано, что для нечетного п из неравенства Х2>Х\ следует неравенство х2>>хл. Согласно определению функция f (х) = х^п при нечетном п возрастает на всей числовой прямой.

Пример 2. Докажем, что если функция y=f(x) возрастает на мно­жестве Р, то функция у= — f (х) убывает на множестве Р. Пусть xi и Х2 — любые два числа из множе­ства Р. такие, что х^>-х\. Надо до­казать, что —[ (хг)<.—f (хО, т. е. f (xtXf (jc₂). Но это — очевидное следствие условия: f возрастает на множестве Р

Рис. 40

Пример 3. Функция f ([4]) = “- убывает на каждом из про­межутков (— оо; 0) и (0; оо) (докажите самостоятельно). Однако эта функция не является убывающей на объединении этих проме- жутков_к Например, I >—1, но /(l)>f(—I). ф

При исследовании функций на возрастание и убывание приня­то указывать промежутки возрастания и убывания максимальной длины, включая концы (если, конечно, они входят в эти проме­жутки). Так, можно было сказать, что функция f (х)=-^~ убы­вает на отрезке [2; 100]. Это верно, но такой ответ неполон.

Замечание. Для четных и нечетных функций задача на­хождения промежутков возрастания и убывания несколько упро­щается: достаточно найти эти промежутки при х^0 (рис. 40).

Пусть, например, функция f четна и возрастает на промежутке [а; Ь\ где 6>а^0. Докажем, что эта функция убывает на про­межутке [—Ь\ —а].

Действительно, пусть — a^x2>x\^—b. Тогда /(— *г) = = f{x2), f(— xi)=f(x\), причем —х₂<—xi^b, и поскольку / возрастает на [а\ Ь\ имеем f (—x_t)>f (—х₂), т. е. f{x{)>f(x2).

2. Возрастание и убывание тригонометрических функции* Докажем сначала, что синус возрастает на промежутках

£——|-2лп; -2-+2nnJ, _n£Z. В силу периодичности синуса дока­зательство достаточно провести для отрезка £ —^; -—J. Пусть дг₂>Х|. Применяя формулу разности синусов, находим:

sin Х2 — sin х\ = 2 cos *-

а) б)

Рис. 41

Поэтому cos ^Х'~^^Х2 >0, sin —²—^Х| -> 0. Из (1) вытекает, что

разность sin *2— sin х\ положительна, т. е. sin X2>sin х\. Тем самым доказано, что синус возрастает на указанных промежутках.

Аналогично доказывается, что промежутки |-2лм; Щ-\-2ппJ,

n£Z, являются промежутками убывания синуса.

Заметим, что полученный результат легко проиллюстрировать

с помощью единичной окружности: если —<^2^-^-, то

точка Р_1г имеет, естественно, ординату, большую, чем ордината

точки P_tl (рис. 41, а). Если </2^-у-, то ордината точки P_h

меньше ординаты точки P_tx (рис. 41,6).

Промежутками возрастания косинуса являются отрезки [—л + 2л/г; 2лп\ где n£Z, а промежутками убывания — отрез­ки [2лл; л + 2лл], где n£Z. Доказательство можно провести при­мерно так же, как и в случае синуса. Проще же воспользоваться

формулой приведения cos х = sin (*+-§-) • Из нее сразу следует,

например, что промежутками возрастания косинуса являются промежутки, полученные из промежутков возрастания синуса

сдвигом на влево.

Докажем, что функция тангенс возрастает на промежутках

^—5—|-ля; -тг+^я/1^, где n£Z. В силу периодичности тангенса

доказательство достаточно провести для интервала ^.

Пусть xi и X2 — произвольные числа из этого интервала, такие, что x2>xi. Надо доказать, что tg*2>tgxi. Имеем

,, sin Х2 sin Х\ sin Хч. cos х \—sin Х\ cos Х2 sin (хг —Xi)

IP" Х2 — Щ Х\ =----------------------------------- =----------------------------------------------- —------------------------.

^{e e} COS Х2 COS Х| COS Xi COS X\ COS X\ COS X2

По предположению — тг<*1 <*2<4р. Поэтому cosxi>0,

cosx₂>0. А так как 0<Х2 — х\ < л, то и sin (%2 — *i)>«0. Следо­вательно, tg *2 — tgxiX), т. е. tgx2>tgxi, что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается, что ctg убывает на промежутках (пп\ л-f ли), где n£Z.

3. Экстремумы. При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки удобно пользоваться понятием окрестности. Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал (2; 6) — одна из окрестностей точки 3, интервал (— 3,3; —2,7) — окрестность точки —3.

Изучая график рисунка 39, можно прийти к выводу, что наи­более «заметными» точками области определения являются такие точки х, в которых возрастание функции сменяется убыванием (точки 3 и 5) или, наоборот, убывание сменяется возрастанием (точка 4). Эти точки называют соответственно точками макси­мума (х_тах = 3 и x_max = 5) и минимума (x_min = 4).

При построении графиков конкретных функций полезно пред­варительно найти такие точки. Например, для функции sin это

точки вида ₌Ь-^-+2лл, n£Z. Возьмем для определенности х₀ = Эта точка является правым концом промежутка возраста­ния синуса, и поэтому 1 = sin xo>sin х, если — у-^лсС-^-. Кроме того, *о=*^ левый конец промежутка убывания, и следова­тельно, sin jc С sin хо при. Итак, sin -^-Osin х для лю­бого х, лежащего в окрестности ^точки лго ==-£-, и

поэтому х₀=-|------ точка максимума функции синус.

В точке —наоборот, убывание функции меняется на возрастание (слева от —у-функция убывает, а справа возраста­ет). Рассуждая аналогично, получаем, что sin х> sin^ — =

== — 1 в некоторой окрестности точки —и поэтому —----------------

точка минимума функции синус. Дадим точные определения то­чек экстремума.

Определение. Точка Хо называется точкой минимума функции /, если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполне­но неравенство f (x)^f (хо) (рис. 42).

5)

Рис. 43

Определение. Точка х₀ называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х₀ вы­полнено неравенство f(x)^f(хо) (рис. 43).

По определению значение функции f в точке максимума хо является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности х₀, как правило, имеет вид гладкого «холма» (рис. 43, а и рис. 44 — точки х\, х₂, хз) или заостренного «пика» (рис. 43, б). В окрестности точки минимума графики, как правило, изобража­ются в виде «впадины», тоже или гладкой (рис. 42, б — точка хо, рис. 44 — точки хц, х$), или заострен­ной (рис. 42, а — точка х₀ и рис. 44— точка ль).

Другие примеры поведения гра­фиков функций в точках мак­симума или минимума приведены на рисунках 45 (а — точка максимума),

46 (а — точка минимума) и 47 (здесь каждая точка промежутка

У*

Рис. 47

• —1;0) является как точкой минимума, так и точкой макси­мума).

Для точек максимума и минимума функции принято общее наз­вание — их называют точками экстремума. Значения функции в этих точках называют соответственно максимумами и миниму­мами функции (общее название — экстремум функции). Точки максимума обозначают х_тах, а точки минимума x_min. Значения функции в этих точках обозначаются соответственно y_max и y_min.

Упражнения

77. Для функций, графики которых изображены на рисунках

48, а — г, найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

а) б)

В) г)

б) точки максимума и минимума функции;

в) экстремумы функции.

Начертите эскиз графика функции f (78—80).

78. а) / возрастает на промежутке (— оо; 2] и убывает на проме­жутке [2; оо);

б) f возрастает на промежутках (—оо;—2] и [0; 3], убы­вает на промежутках [—2; 0] и [3; оо);

в) f убывает на промежутке (—оо; —1] и возрастает на промежутке [—1; оо);

г) f убывает на промежутках (— оо; 1] и [4; оо), возрастает на промежутке [1; 4].

79. а) *_тах=— 3, *_min = 4, /(— 3) = 5, f (4)= — 5;

б) х_т1п=— 2, x_min — 2, х_тах = 0, f (— 2) = / (2)= — 3. / (0)=2;

в) *rnin= —5, *_тах = 2, f(— 5)=1, / (2)=6;

0 *тах=— 4, Х_тах = 3, х_т1п= — 1, /(— 4) = 5, /(3)=2, f(- 1)=-2.

80. a) f — четная функция, х_тах = — 3, x_min = 0, f (— 3) = 4, f(0) = 0;

б) / — нечетная функция, х_тах = 2, x_min = 5, f (2) = 3, f (5)= — 4;

в) f — четная функция, x_min = 4, *_max = 0, f(4)=—2, f(0) = 2;

г) f — нечетная функция, x_min= — 4, *_max = — 1, f (— 4)= — 3, f (—!)=!-

81. Докажите, что функция y = kx-\-b:

а) возрастает на множестве R при fc>0;

б) убывает на множестве R при k<.0.

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки макси­мума и точки минимума функции, ее максимумы и миниму­мы (82—85).

82. а)	У =	— х2-{-6х— 8;	б)	У =	= (* + 2)4+l;
в)	У==	х2 — 4х;	г)	У =	(х— З)4.
83. а)	У =	х—2 ’	б)	У =	: — (* + 3)5;
в)	У =	х+3 ’	Г)	У =	(х-4)\
84. а)	У =	3 sin х — 1;	б)	У =	■ —2 cos х-\-1;
в)	У=	2 cos 1;	Г)	У =	0,5 sin х—1,5.
85. а)	У =	l+2tgx;	б)	У =	sin 1;
в)	У =	— tg x;	г)	У =	cos х— 1.
86. Сравните числа:
а)	cos	32. и cos>; 7 9	б)	sin	и sin —; 7 8

v, 9л. 6л ч. 4л • Зл

в) tg — и tgy; г) sin-jp и Sin —.

87. Расположите числа в порядке возрастания:

a) sin 3,2, sin 3,8, sin 1,3; б) cos 0,9, cos 1,9, cos 1,3;

в) tg 0,5, tg 1,4, tg(—0,3); r) sin 1,2, sin (—1,2), sin 0,8.

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстре­мума и экстремумы функции (88—89).

88. a) */=₍—hjF+1; ^б> 0=4|*|— х²;

^в) «/=₍-^р)3 —²; ^г) У=х² — 2 \х\.

89. a) */ = cos(x-f-^-); б) i/= 1 — sin(x—;

в) y = sm(x+-2-'); г) у=2+cos(*—.

90. Расположите числа в порядке возрастания:

а) cos^p, sin ~, cos^, cos (—у):

б) tg(-^),tgf,ctgf,tg(-Z|);

в) ctg ctg if, tgf, ctg

v / 5я \ 1 Зл.5л. 17л

r)), cos^-, smjj, sm-g-.

91. Докажите, что функция:

а) f (x) = x*-\-3x возрастает на [0; со);

б) /(*)=—х³ — 2х убывает на R\

в) f (х)=х⁶—0,5 убывает на (— оо; 0];

г) f (х) = х^ъ +1.5* возрастает на R.

92. Докажите следующие утверждения:

а) если f — четная функция, х₀ — точка максимума, то —х₀ является точкой максимума;

б) если f — нечетная функция и на промежутке [а; b] она убывает, то и на промежутке [—Ь\ —а] функция f убывает;

в) если f — нечетная функция, хо — точка минимума, то — х₀ является точкой максимума;

г) если / — четная функция и на промежутке [а; b] функция возрастает, то на промежутке [ — Ь\ —а] она убывает.

6. Исследование функций

1. Построение графиков функций. Ранее вы строили графики функций «по точкам». Во многих случаях этот метод дает хоро­шие результаты, если, конечно, отметить достаточно большое число точек. Однако при этом приходится составлять большие таблицы значений функции, а главное, можно не заметить сущест­венных особенностей функции и в итоге ошибиться при построении графика.

Предположим, например, что, вычислив значения функции в 15 точках и отметив соответствующие точки графика на коорди­натной плоскости, мы пришли к рисунку 49. Естественно предпо­ложить, что эскиз графика близок к непрерывной кривой, прохо­дящей через все эти точки (рис. 50). Однако «настоящий» гра­фик (естественно, проходящий через все эти точки) может быть совершенно не похож на этот эскиз (рис. 51—53).

Для того чтобы избежать ошибок, надо научиться выявлять характерные особенности функции, т. е. предварительно провести ее исследование. Пусть, например, о функции / нам известно, что она:

— определена на объединении промежутков (— оо; —10) (-10; 10), (1.0; ~);

— обращается в нуль в точках —11 и 0, отрицательна на интервалах (—оо; —11), (—10; 0) и положительна на интерва­лах (—11; — 10); (0; 10) и (10; оо);

— возрастает на промежутках (—оо; —10) и (—10; 10), [12; 15] и убывает на промежутках (10; 12] и [15; оо);

— имеет минимум в точке 12, причем f (12)= 16, и максимум в точке 15, причем / (15)= 19;

— наконец, значения f при приближении значений аргумента к —10 и 10 неограниченно возрастают по абсолютной величине.

Эти сведения позволяют понять, что эскиз графика функции примерно таков, каким он изображен на рисунке 53.

Рассмотрим еще один пример: исследуем функцию

/W=FTT-

1) Найдем область определения функции. В данном случае D (f) — вся числовая прямая, поскольку знаменатель х²-\-1 не обращается в нуль.

2) Заметим, что функция f четная: для любого х

_XJ₂₊! ⁼ М-

Поэтому достаточно исследовать функцию и построить ее график при х^0, затем остается отразить построенную часть графика относительно оси ординат.

3) Найдем точки пересечения графика f с осями координат. Ось ординат график f пересекает в точке (0; f (0)). Значение f(0) равно 1. Поэтому график f проходит через точку (0; 1).

Для того чтобы найти точки пересечения графика функции f с осью абсцисс, надо решить уравнение f (х) = 0 (его корни назы­вают нулями функции). Уравнение 0 не имеет корней.

Значит, график f не пересекает ось абсцисс.

4) Выясним, на каких промежутках функция f принимает по­ложительные, а на каких — отрицательные значения; их называют промежутками знакопостоянства функции. Над этими промежут­ками график функции лежит выше (соответственно ниже) оси абсцисс. В данном случае, поскольку при любом х значение х²-\- 1 положительно, f(x)>0 на всей числовой прямой.

5) Существенно облегчают построение графика сведения о том, на каких промежутках функция возрастает или убывает (эти промежутки называют промежутками возрастания или убыва­ния функции). Докажем, что для рассматриваемой функции промежуток возрастания — это (—оо;0], а промежуток убыва­ния — [0; оо).

Пусть х\ и Х2 — два значения из промежутка [0; оо), при­чем X2>Xi. Поскольку Х\ И X2 ПОЛОЖИТвЛЬНЫ, ИЗ условия *2>*l

следует *!>*?, xl-f 1>*? + 1 и, наконец, -ттт<-ттт* Итак,

*2+1 *1 + 1

!(хъ)<.Цх,), т. е. функция f убывает на промежутке [0; оо). На промежутке (—оо;0] функция / возрастает. Доказатель-

ство проводится аналогично (можно также воспользоваться четностью данной функции).

6) Найдем значения функции в точках, в которых возраста­ние сменяется убыванием или наоборот. В нашем случае имеется лишь одна точка, принадлежащая одновременно и промежутку возрастания, и промежутку убывания,— это точка 0. Точка 0 —

точка максимума функции f (х)=^—; f(0)=l.

7) Заметим, наконец, что при неограниченном увеличении х значение х ^[5] +1 неограниченно возрастает, а потому значения

f (*)=._!_• (оставаясь положительными) приближаются к нулю.

Полученных в ходе исследования свойств функции f (х) =

6) Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

7) Исследовать поведение функции f в окрестности харак­терных точек, не входящих в область определения (например,

точка х = 0 для функции f (*) — “) ♦ ^{и П}Р^И больших (по модулю)

значениях аргумента.

Необходимо заметить, что этот план имеет примерный харак­тер. Так, для нахождения точек пересечения с осью абсцисс надо решить уравнение f (х) — 0, чего мы не умеем делать даже в слу­чае, когда f (х), например, многочлен пятой степени. (Существуют, правда, методы, которые во многих случаях позволяют найти число корней такого уравнения и сами корни с любой точностью.) Поэтому часто тот или иной этап исследования приходится опус­кать. Однако по возможности в ходе исследования функций желательно придерживаться этой схемы.

Наиболее трудным этапом исследования является, как правило, поиск промежутков возрастания (убывания), точек экстремума. В следующей главе вы познакомитесь с общими методами реше­ния этих задач, основанными на применении методов матема­тического анализа.

V Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f (например, прямая * = 0 для функции f {х) =

=-^-или прямые х=±10 для графика функции, изображенного

на рисунке 53), называют вертикальными асимптотами.

Чаще всего график имеет вертикальную асимптоту х=а в случае, если выражение, задающее данную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке а, а чис­литель нет. Например, график функции /(х)=-^- имеет верти­кальную асимптоту дс=0. Для графика функции f(x)=tgx вер­тикальными асимптотами являются прямые х=-^-\-пп, где n£Z.

Если график функции неограниченно приближается к некото­рой горизонтальной (в случае функции f (х)= ₂- это прямая

X -J- 1

у=0, см. рис. 55) или наклонной (прямая у=х для графика

функции f (x)=x-\--j-, см. рис. 32) прямой при неограниченном

возрастании (по модулю) х, то такую прямую называют горизон­тальной (соответственно наклонной) асимптотой. А

3. «Чтение» графиков. В большинстве разобранных выше при­меров и задач на построение графиков функций вы встречались с такой ситуацией: функция задана формулой, требуется иссле­довать ее свойства и построить график f. Представляет значи-

Рис. 56

тельный практический интерес другая задача: задан график f, с помощью которого требуется перечислить основные свойства этой функции.

Подобные задачи часто решаются в ходе экспериментальных исследований. Построение графиков при этом осуществляется разными методами. Например, по точкам, найденным экспери­ментально. Существуют также многочисленные приборы-само- писцы. Это, например, осциллографы, на экранах которых электри­ческие колебания преобразуются в наглядные графические изображения. Другим примером прибора, позволяющего получить наглядное графическое описание, служит кардиограф; «прочи­тывая» полученную с его помощью кардиограмму, врачи делают выводы о состоянии сердечной деятельности.

С довольно типичным примером трудностей, возникающих при исследовании реальных процессов, для описания которых еще не созданы точные теории, вы можете познакомиться, рассмотрев рисунок 56. Здесь приведены графики среднесуточного хода темпе­ратур по Московской области в феврале 1974 г. Толстой линией изображены «теоретические кривые» А и Б, фиксирующие ре­зультаты долгосрочного прогноза (поскольку прогноз дается с точностью до 5°, кривых две). «Читая» этот график, мы нахо­дим, например, что предполагались три «волны холода» (в пе­риод с 4 по 10, с 17 по 19 и с 23 по 26 февраля). Предпола­галось также отсутствие оттепелей и в целом холодная (до

— 17° —22°) погода. Однако в действительности (график факти­ческого хода температур изображен тонкой линией В) температура была выше нормы на 5—10° (климатическая норма, являющаяся результатом многолетних наблюдений, задана линией Г), в пе­риод с 4 по 8 февраля было потепление, а не похолодание и т. д. Эти и другие сведения о прогнозе и реальной картине вы можете получить, «читая» графики, приведенные на рисунке 56.

а) б)

	Свойство функции	а)	б)	в)	г)
	Проме­ жутки знакопо- стоямства: а) /(*)> 0 б) f(x)c0	[-6; -4), (-2; 6] (-4; -2)	[-5; 0). (0; 4]	(-4; -1). (2,5; 4) (-1; 2,5)	[-5; 3)
	Проме­ жутки: а) воз­раста­ния б) убы­вания	[-3; IJ [4; 6] [-6; -31 [1; 4]	[-5; -21 [0; 4] [-2; 0]	[-4; -21 [1; 4] [-2; I]	[-3; 1] [-5; -31 [1; 3]
	Точки максимума, максимум функции Точки минимума, минимум функции	1. / (1) = 3 — 3. /(-3)=-2 4. /(4)=1	-2J (—2)=2 0, / (0) = 0	2, f (—2)=2 1. /0)=—3	1. И 1)=5 -з, / (—3)=2
	Допол­ нительные точки графика	/(—6)=3 /(6)= 5	f {— 5)=0,5 f (4)=6	/ (4)=6	f(-5)=3

Проведите по общей схеме исследование каждой из функций и постройте ее график (95—97).

95. a) f (х) = 5 — 2х\ б) f{x) = 3 — 2х — х²\

в) f (х) = 3х—2; г) f(x)=x² — Зл: + 2.

96. а) /(*)=^----------- 2; б) f (х)= — (х— З)⁴;

^в) f(*)=7qr2^{; г}) f(x) = x³-\.

97. a) f(x)—-\[x—3\ б) f(x) = Ах — х²;

в) f(x)=Vx+1; г) f(x)=4 —х².

Проведите по общей схеме исследование каждой из функций и постройте ее график (98—99).

98. а) / (jc)=jc⁴-f-4х²; б) f (х)= 1 —У* + 4;

в) f (х)=х³-{-х\ г) f (х)=-^х—2 — 2.

99. а) [ (х) = х² —2 |х| + 1; б) f(x)=i±L;

В) f(ЛГ)= Ul—JC²; г) f(x)=-2i±i_.

7. Свойства тригонометрических функций. Гармонические колебания

1. Исследование тригонометрических функций. Свойства изу­чаемых функций удобно записывать согласно приведенной в пре­дыдущем пункте схеме. Сведем уже известные вам свойства функ­ций синус, косинус, тангенс и котангенс в таблицу (см. с. 55). (Всюду предполагается, что n£Z.)

В таблице принята следующая нумерация свойств функции f:

1.1 —область определения;

1.2 — область значений;

2.1 — четность (нечетность);

2.2 — наименьший положительный период;

3.1 —координаты точек пересечения графика f с осью Ох\

3.2 — координаты точек пересечения графика / с осью Оу\

4.1 — промежутки, на которых f принимает положительные зна­

чения;

4.2 — промежутки, на которых f принимает отрицательные зна­

чения;

5.1 — промежутки возрастания;

5.2 — промежутки убывания;

6.1—точки минимума;

6.2 — минимумы функции;

6.3 — точки максимума;

6.4 — максимумы функции.

Свойства тригонометрических функций часто применяются при решении задач.

О Пример 1. Расположим в порядке возрастания числа sin (—1), sin 1, sin 2, sin 3, sin 4.

Пользуясь формулами приведения, запишем эти числа в таком виде, чтобы значения аргумента принадлежали одному из проме-

жутков возрастания синуса — отрезку

sin 2 = sin (я — 2), sin 3 = sin (л— 3), sin 4 = sin (я — 4). Очевидно, что

— f~< — 1<л—4<л —3<1<я —2<-~~,

	Функция
	/ (Ar) = sin X	/ (*) —COS X	/(*)=tg*	/ (x) = ctg х
i.l	R	R	(-f+n":T+m)	(лл; я + яя)
	[-1; i]	[-1; 1]	R	R
' 2.1 I	Нечетная	Четная	Нечетная	Нечетная
	2л	2л	л	л
3.I	(лл; 0)	(у + лл; о)	(лп\ 0)	(т+пл; °)
	(0; 0)	(0; 1)	(0; 0)	Нет
4 1	(2лл; л + 2лл)	(—^-+2лп; у+2лл^	^ лл; у+лл^	(лп: Т+Пл)
4-2	(—л+2лл; 2лл)	(у+2лл; ^+2ял)	^—^-+лл; ял^	(л \ —^-+ял; лл ] \ 2 /
SI	£ —^-+2лл; у + 2лл^	[—л + 2лл; 2лл]	(-у+пп; i+лл)	Нет
S2	[у+2лл; ^-+2лл]	[2лл; л + 2ял]	Нет	(лл; л + л/г)
i 41	-у+2лл	л+2лл	Нет	Нет
Г	— 1	— 1	Нет	Нет
i .	л у+2ял	2лл	Нет	Нет
! i4	I		Нет	Нет
i-—

поэтому

sin (— 1)<sin (я—4)<sin (л —3)<sin 1 <sin (л —2).

Итак, sin (— 1) < sin 4 < sin 3 < sin 1 < sin 2. #

Рассмотрим график функции f (x)=2 sin ^ Зх—(рис. 58). Он

получается при помощи следующей последовательности преобра­зований:

а) сжатием графика функции у = sin х в 3 раза вдоль оси абс­цисс получаем график функции у — sin Зх (рис. 59);

б) переносом графика функции у = sin Зх на вектор (-J-; о) по-

Рис. 59

лучаем график функции */ = sin З^х—, т. е. y = s\n(^3x —

(рис. 6°); _Зл

в) растяжением графика y — s\nl3x — —) в 2 раза вдоль оси

ординат получаем график функции у = 2sin^3x— (Р^ис- 61).

При преобразованиях, изученных в п. 3, «форма» кривой со­храняется (так же как при движениях и преобразованиях подо­бия). Поэтому синусоидой называют не только график синуса, но и любую кривую, полученную из него при помощи сжатий (рас­тяжений) вдоль осей и последующих движений или преобразова­ний подобия. Это же замечание справедливо для других кривых, например параболы или гиперболы.

То обстоятельство, что свойства функций вида f (х)—А sin (kx-f-b) и f(x)—A cos (kx-\-b) аналогичны свойствам синуса (или косину­са), позволяет сравнительно быстро провести исследование таких функций: главное — найти их период и точки, в которых значе­ния равны 0 и ±Л.

О Пример 2. Исследуем функцию

/(*) = 2 sin(3x —

и построим ее график.

П

Период функции f равен— (см. п. 4). Синус обращается в нуль в точках вида пп, n£Z, поэтому f (х) — 0 при Зх—-2- = пп, т. е. при x—-j- 4-^г> n£Z. Затем, решая уравнения / (х)= —2 и f (х)=2, по-

4; О

лучим sin^Зх —— 1 при Зх — ~^L = —^-+2лм, откуда х— ⁿ€^Z' ^sm (Зх—X^-) ⁼ 1 ^ПР^И Зх—^р-=*|-+2ля, отку-

да ^х==~^2+~\~» я 6 2. Отметим получен­ные точки на оси абсцисс. Достаточно рассмотреть отрезок, длина которого рав­на периоду. В данном случае удобно

взять отрезок £у|-;, левый конец

которого является точкой минимума функции (рис. 62). Далее рисуем график функции /, возрастающей от —2 до 2 на

отрезке и убывающей от 2 до —2

на отрезке [j^-;. При этом график должен пересекать ось абсцисс в точ­ках oj и о). Эскиз графика функции f на всей числовой прямой получается из графика ри­сунка 62 сдвигами на n£Z, вдоль оси абсцисс (рис. 58). $

2. Гармонические колебания. Величины, меняющиеся согласно закону

f {i) = A cos (со/4-ф) (1)

или

/ {t) = A sin (со/-Ьф), (2)

играют важную роль в физике. По такому закону меняется, на­пример, координата шарика, подвешенного на пружине (рис. 149). Говорят, что шарик совершает гармонические колебания. Функцию (2) тоже можно записать в виде (1):

A sin (со/ + ф) = Л cos^co/4-ф—

Параметры А, со и <р, полностью определяющие колебание (1), имеют специальные названия: А называют амплитудой колебания, со — циклической (или круговой) частотой колебания, <р — на­чальной фазой колебания (обычно берут ср6[0; 2л)). Период функ-

9тт

ций A sin {(at ф) и A cos (со/4-ф). равный —, называют периодом гармонического колебания. “

Свойства функций (1) и (2) удобно проиллюстрировать на сле­дующем примере из механики. Пусть точка М движется равно­мерно по окружности радиуса R=A с угловой скоростью о (при (д!>0 вращение против часовой стрелки, а при со<;0 — по часо­вой стрелке), причем в начальный момент времени / = 0 вектор

ОМ составляет угол ср с положительным направлением пси абсцисс
(рис. 63). Рассмотрим две следующие функции от t — координаты проекций точки на оси абсцисс и ординат — функции x(t) и y(t).

В момент времени t вектор ОМ составляет с положительным направ­лением оси Ох угол <р (/), при этом ф (/) = cp-|-to/ согласно закону равно­мерного движения по окружности.

По определению функций синус и косинус

х (t) = A cos ф (/), т. е. х (t) — A cos (м/4-фК у (t) = A sin ф (/), т. е. у (t) — A sin (со/ + ф).

Изучим свойства этих функций, опираясь на кинематические соображения. Их период равен, очевидно, времени Т, за которое точка совершает один оборот. Длина окружности равна 2пА, а

о я 'г 2 лА 2л

линейная скорость v точки равна сол, поэтому /

Рассмотрим один из моментов времени to, в который точка М занимает крайнее правое положение. Тогда x(to)=A, у (to) = 0. Начиная с этого момента времени функция х (t) будет поперемен­но убывать от Л до —Л на первой половине периода и возрастать от — А до А на второй половине периода. При этом точки макси­мума функции х (t) — это те моменты времени, когда точка зани­мает крайнее правое положение; точки минимума соответствуют крайнему левому положению, а нули — верхнему и нижнему по­ложениям.

Аналогичными свойствами обладает и функция у (t); ее точки максимума и минимума соответствуют верхнему и нижнему поло­жениям точки на окружности, а нули — правому и левому поло­жениям.

Отметим, что при Л = 1,со = 1иф = 0 функции х (t) и у (/) рав­ны соответственно cos t и sin t. Проверьте самостоятельно, что из­вестные вам свойства этих функций легко получить, рассматри­вая соответствующее движение точки по единичной окружности.

Упражнения

100. Пользуясь свойствами тригонометрических функций, замени­те выражение равным ему значением той же тригонометри­ческой функции наименьшего положительного аргумента:

18я •_ 28я / 15я \, / 8я\

a) tg —,sm —; б) cos(-—). ctg(—_г);

в) sin(-■!£), tg-!f: г) cos f!. ctg f!.

101. Найдите область определения и область значений функции:

^а) f (^х) — 3 cos 2л;—1; б) f (х) = 2 — ctg Зх;

в) / (х) = 2 tg; г) / (х)= 1+0,5 sin -j-.

102. Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции:

a) f(x)= — sin3x; б) f(x) = tg^;

в) f(x)=cos^-; г) f(x) = ctg2x.

103. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки макси­мума и минимума функции:

a) f (х) = 4 cos Зх; б) f (х)=0,5 ctg

*)/(*) = ²tg-f-; г) /(х)=0,2 sin 4х.

Исследуйте функцию и постройте ее график (104—105).

104. a) f (х)=-^- cos б) / (х)=—2 sin 2х;

^в) f (*)= — 1,5 cos Зх; г) / (х)=3 sin у-.

105. а) / (x)—~y tg 2х; б) / (х)= — 3 cos ~;

в) /(*)=—2 ctgг) f (х) = 2,5 sin

106. Координата движущегося тела (измеренная в сантиметрах) изменяется по указанному закону. Найдите амплитуду, пе­риод, частоту колебания. Вычислите координату тела в мо­мент времени t_it если:

а) х (/) = 3,5 cos 4л/, /!=-^-с;

б) х(/) = 5 cos ^ Зл/+= 4,5 с;

в) х (/)= 1,5 cos 6л/, /| = 1-|-с;

г) х(/)==0,5 cos(-y +-£-). /i=8 с.

107. Найдите амплитуду, период, частоту силы тока, если она из­меняется по закону (сила тока измерена в амперах, время — в секундах):

а) /(/)== 0,25 sin 50л/; б) / (/) = 5 sin 20л/; в) / (/)=0,5 sin Юл/; г) / (/)=3 sin 30л/.

108. Найдите амплитуду, период и частоту напряжения, если оно изменяется по закону (напряжение измерено в вольтах, вре­мя — в секундах):

a) U (/)=220 cos 60л/; б) U (/) = 110 cos 30л/; в) U (/) = 360 cos 20л/; г) U (/) = 180 cos 45л/.

109. Расположите в порядке возрастания числа:

а) cos 4, cos 7, cos 9, cos (— 12,5);

б) tg (— 8), tg 1,3, tg 4, tg 16;

в) sin 6,7, sin 10,5, sin (— 7), sin 20,5; r) ctg 3,5, ctg (— 9), ctg 5, ctg 15.

110. Найдите область определения функции:

1 / • 2 X 2 X

б) У=~у sin² — —cos² —;

1 —sin х

г) У=~у tg*+ctgx.

COS X— 1

111. Найдите область значений функции:

a) y — s'mx—^j3cosx\ б) у

l+tg² X ’ 2

в) у=^11 —cos 4х;

1+ctg² х ’

Исследуйте функцию и постройте ее график (112—ИЗ).

112. a) f(x) = 2cos(*+^-); б) f (х)=-^- sin (у- — х);

в) f(x) = ig(x—^f); г) f{x)= 1,5 cos.

113. a) f(x) = sin(2x—у-); б) /(*) = ctg(-|- + j-);

в) f (_x) = 4cos(-^-+-|-); г) /(*) = tg(^-3x).

114. По графику, изображенному на рисунке 64, определите ам-

плитуду силы тока (или напряжения), период колебания. За­пишите закон зависимости силы тока (или напряжения) от времени.

115. В какой ближайший момент времени t (/>0), считая от на­чала движения, смещение точки, совершающей гармоничес­кие колебания по закону х (0 = 5 cos^-^- +•§“) ^:

а) максимально; б) равно 2,5; в) равно 0; г) равно —5?

§ 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

8. Арксинус, арккосинус и арктангенс

1. Теорема о корне. Сформулируем важное утверждение, ко­торым удобно пользоваться при решении уравнений.

Теорема (о корне). Пусть функция f возрастает (или убы­вает) на промежутке /, число а — любое из значений, прини­маемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = a имеет единственный корень в промежутке I.

Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По ус­ловию в промежутке / существует такое число Ь, что f(b)=a. Покажем, что b — единственный корень уравнения f(x) — a.

Допустим, что на промежутке / есть еще число сФЬ, такое, что f(c)=a. Тогда или с<Ь, или Ob. Но функция f воз­растает на промежутке /, поэтому соответственно либо f (c)<.f (b), либо f{c)>f(b). Это противоречит равенству f (c)=f (b)=a. Сле­довательно, сделанное предположение неверно и в промежутке /, кроме числа Ь, других корней уравнения f(x) = a нет.

О Пример 1. Решим уравнение х³ + х = 2.

Функция f(x) = x³ -\-х возрастает на R (это сумма двух воз­растающих функций). Поэтому уравнение f (х)=2 имеет не более одного корня. Легко видеть, что корнем является х—\. ф

2. Арксинус. Как вы знаете, функция синус возрастает на

отрезке £—и принимает все значения от — 1 до 1. Следо­вательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что |а|^1, в промежутке £—существует единственный ко­рень b уравнения sin х — а. Это число b называют арксинусом чис­ла а и обозначают arcsin а (рис. 65).

Определение. Арксинусом числа а называется такое чис­ло из отрезка £—-^-J, синус которого равен а.

О П р и м е р 2. Найдем arcsin

• л/2 я. я л[2 я,Г я n I

arcsin ^{так как sln}T⁼ 2 ^и тчт^; TJ*

Пример 3. Найдем arcsin ^ ^.

Число ^ из промежутка £—y-Jj, синус которого есть — равно —Поэтому arcsin^—^-) =—ф

3. Арккосинус. Фуикция косинус убывает на отрезке [0; я] и принимает все значения от —1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |а|^1, на отрезке [0; я] существует един­ственный корень b уравнения cosx = a. Это число Ь называют арккосинусом числа а и обозначают arccos а (рис. 66).

Определение. Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0; л\ косинус которого равен а.

О Пример 4. arccos так как cos -£-=3® и л].

Пример 5. arccos^—так как cos~=—Щ- и |^[0; _л]. ф

4. Арктангенс. На интервале (—y-J функция тангенс воз­растает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале ^ существует единственный ко­рень b уравнения tgjк = а. Это число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctg а (рис. 67).

Определение. Арктангенсом числа а называется такое

число из интервала ^, тангенс которого равен а.

О Пример 6. arctg 1 так как tg-j-= 1 и

п г (п. л \

4 ч 2 ’ 2 /’

Пример 7. arctg(—л/3) =—так как tg(—^ = —д/3

Л Л Я \

з"Ч Т* Т/ ’ ®

5. Арккотангенс. Функция котангенс на интервале (0; л) убы­вает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале (0; л) существует единственный корень b уравнения ctg х=а. Это число Ь называют арккотангенсом числа а и обозна­чают arcctg а (рис. 68).

Определение. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; л), котангенс которого равен а.

О Пример 8. arcctg-— = -2-, так как oXg-~=~ и -§-€ (0; л).

Пример 9. arcctg (— -yj3)=так как ctg — д/3 и ^6(0; я). •

Упражнения

Сколько корней, принадлежащих данному промежутку, имеет каждое из уравнений (116—117)?

116. а) х⁷ = 3, х£(— оо; оо); б) —5, х£(— оо; 1);

в) х[6]=4, jc6(—00; 0]; г)

117. a) (x—З)³=— 4, x£( —00; oo\6 ) 2 sin x=i,5, * 6 ^ —— J

в) (x + 2)⁴ = 5, x£l — 2: 00»; r' 0,5cosa:=—*6 ГО; л].

Отметьте на единичной окружности точки P_t, для которых соответствующее значение t удовлетворяет данному равенст­ву. Найдите значение /, принадлежащее указанному проме­жутку (118—120).

118. a) б) sin/=-4-,

В) sin; г) sin <= I, [-f; f].

119. a) cos/=—[0; л];

в) COS /=—й, [0; я);

120. a) tg/=-l,

в) tg/=^,(-f; i);

Вычислите (121 —123).

121. a) arcsin 0;

в) arcsin 1;

122. a) arccos (—; в) arccos^ —^-);

123. a) arctg;

в) arctg 0;

Имеют ли смысл выражения (124—125)?

124. a) arcsin^—; б) arccos л/5;

в) arcsin 1,5;

125. a) arccos л;

в) arccos (—-\/3);

г) arccos

б) arcsin (3—л/20);

ч • 2

г) arcsin —.

Найдите значения выражений (126—128).

126. a) arcsin 0-f- arccos 0; б) arcsin (—+ arccos; в) arcsin -у- + arccos г) arcsin (— 1)+arccos ^

127. а) arccos (—0,5) + arcsin (—0,5);

б) arccos(— arcsin (— 1);

в) arccos(~^2~) + ^arcs*ⁿ(“^)»