Предельный переход в функциональных неравенствах

Теорема о предельном переходе в неравенстве. Пусть \\ тогда

Доказательство. (от противного)

Пусть .

- противоречие.

12. Непрерывность функции в точке. Определения непрерывности по Гейне и по Коши. Непрерывность функции в точке слева и справа. Локальные свойства непрерывных функций: ограниченность, сохранение знака.

Определение:

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной, если

Определение(по Коши):

Определение (по Гейне):

Определение:

Функция непрерывна, если , то есть бесконечно маломуприращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция f (x) называется непрерывной справа в точке x ₀, если существует односторонний предел

lim x → x 0 + 0 f (x) = f (x 0).

Пусть функция f (x) определена в полуинтервале (x ₀ − δ, x ₀].

Функция f (x) называется непрерывной слева в точке x ₀, если существует односторонний предел

lim x → x 0 − 0 f (x) = f (x 0).

13. Элементарные функции. Непрерывность простейших элементарных функций. Примеры.

14. Арифметические операции над непрерывными функциями. Суперпозиция функций. Теорема о непрерывности сложной функции.

15. Точки разрыва функции. Их классификация. Примеры.

16. Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о прохождении функции через нуль и через промежуточное значение.

17. Теоремы об ограниченности функции, непрерывной на отрезке (1-я теорема Вейерштрасса) и о достижении такой функцией точных верхней и нижней граней ее значений (2-я теорема Вейерштрасса).

18. Производства функции. Физический и геометрический смысл производной функции. Правая и левая производные функции в точке. Связь дифференцируемости и непрерывности функции в точке.

19. Дифференцирование сложной функции и обратной функции. Производные суммы, разности, произведения и частного двух функций.

20. Формулы дифференцирования простейших элементарных функций. Примеры.

21. Теорема о нуле производной (теорема Ролля).

22. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).

23. Теорема Коши)обобщенная формула конечных приращений).