Следствия

1.

2.

3.

4.

5. для ,

6.

Пример 2.23 Найдём предел .

Здесь основание степени имеет предел

а показатель степени . Поэтому можно применять тот же приём сведения ко второму замечательному пределу, что в предыдущем примере. Для начала найдём, что следует взять за бесконечно малую величину . Поскольку основание степени стремится к 1, то оно равно , где (см. теорему 2.4). Значит,

Теперь преобразуем функцию, стоящую под знаком предела:

Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет вид и при стремится к числу (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно:

Поэтому

(Мы воспользовались тем, что если и , то . Это следует из непрерывности показательной и логарифмической функций, если учесть, что .)

10. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы.

Теорема 4.2. Пусть функции и имеют в точке пределы и эти пределы соответственно равны и . Тогда функции , имеют в точке пределы, равные соответственно Если кроме этого, , то в точке существует предел функции равный .

Доказательство. Пусть - произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента, элементы которой отличны от . Тогда последовательности и сходятся соответственно к пределам и . Но тогда, в силу теоремы 3.7, последовательности

и (при ) имеют пределы, соответственно равные и . Последнее утверждение, в силу определения предела функции по Гейне, означает, что , , . Теорема 4.2 доказана.

Теорема 4.3. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки и имеют в этой точке равные пределы. Пусть кроме этого выполняются неравенства . Тогда существует при этом .

Доказательство. Пусть - произвольная, сходящаяся к последовательность, элементы которой отличны от . Тогда соответствующие последовательности и имеют предел, и эти пределы равны. Из условия теоремы следует, что . Тогда согласно теореме 3.9 Следовательно, существует и и при этом . Теорема 4.3 доказана.
25.Теорема 3.8. (о предельном переходе в неравенствах). Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству

, то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Доказательство. Пусть все элементы , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству . Докажем, что . Предположим обратное, т.е. . Рассмотрим положительное число . Для этого числа существует номер такой, что для всех верно неравенство . Раскрывая модуль, получим . Из правого неравенства следует .

Последнее неравенство противоречит условию теоремы. Теорема 3.8 доказана.

Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то их пределы удовлетворяют неравенству

Действительно, рассмотрим последовательность . Из условия имеем, что начиная с некоторого номера, члены последовательности неотрицательны, т.е. . Тогда из теоремы 3.8 следует, что . Т.е. . Следствие 1 доказано.