![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Последовательность называется
- монотонно возрастающей (неубывающей), если
;
- строго монотонно возрастающей (неубывающей), если
;
- монотонно убывающей (невозрастающей), если
;
- строго монотонно убывающей (невозрастающей), если
;
Монотонно возрастающие последовательности обозначают символом , монотонно убывающие - символом
.
Сейчас докажем одну из важнейших теорем.
Теорема:
1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;
2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то
.
Доказательство.
Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.е.
такое, что
. Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что
.
Вспомним свойства . Их было два
1.
2.
Но учтем теперь что . Это значит, что
. Тогда имеем следующую цепочку неравенств
Выбрасывая лишнее получим, что
или
, что и говорит о том, что
.
Заметьте, что предел равен как раз супремуму множества .
Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что
.
Но . Значит,
и поэтому можно записать
. Выбрасывая в этом неравенстве
, получим окончательно
что и говорит о том, что .
Число e выражается через предел следующим образом:
Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Выполнив подстановку , где
, получим альтернативную формулу для данного предела:
Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.
Понятие предельной точки множества и предельной точки последовательности. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов у бесконечного ограниченного множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
1. Предельная точка множества. Точка Р называется предельной точкой множества М, если в любой окрестности точки Р имеется, по крайней мере, ещё одна точка множества М, кроме точки Р.
Оказывается, в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число точек множества М. Сама же предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству М.
3. Предельная точка числовой последовательности. Так называют (если он существует) частичный предел последовательности { x n} т.е. такое число с, что существует подпоследовательность { x nk} данной последовательности, для которой
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1332 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!