Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число е

Определение. Последовательность называется

- монотонно возрастающей (неубывающей), если ;

- строго монотонно возрастающей (неубывающей), если ;

- монотонно убывающей (невозрастающей), если ;

- строго монотонно убывающей (невозрастающей), если ;

Монотонно возрастающие последовательности обозначают символом , монотонно убывающие - символом .

Сейчас докажем одну из важнейших теорем.

Теорема:

1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;

2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то .

Доказательство.

Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.е. такое, что . Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что .

Вспомним свойства . Их было два

1.

2.

Но учтем теперь что . Это значит, что . Тогда имеем следующую цепочку неравенств

Выбрасывая лишнее получим, что или , что и говорит о том, что .

Заметьте, что предел равен как раз супремуму множества .

Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что .

Но . Значит, и поэтому можно записать . Выбрасывая в этом неравенстве , получим окончательно

что и говорит о том, что .

Число e выражается через предел следующим образом:

Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Выполнив подстановку , где , получим альтернативную формулу для данного предела:

Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.

Понятие предельной точки множества и предельной точки последовательности. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов у бесконечного ограниченного множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.

1. Предельная точка множества. Точка Р называется предельной точкой множества М, если в любой окрестности точки Р имеется, по крайней мере, ещё одна точка множества М, кроме точки Р.

Оказывается, в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число точек множества М. Сама же предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству М.

3. Предельная точка числовой последовательности. Так называют (если он существует) частичный предел последовательности { x _n} т.е. такое число с, что существует подпоследовательность { x _nk} данной последовательности, для которой