Теорема Больцано-Вейерштрасса

Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x.

Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

В самом деле, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Замечание 2. Пусть { x_n } - ограниченная последовательность, элементы которой находятся в сегменте [ a, b ]. Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности также находится на сегменте [ a, b ].

Действительно, так как , то в силу следствия 2 выполняются неравенства a ≤ c ≤ b. Это и означает, что c находится на сегменте [ a, b ].

Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последовательности также можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, последовательность 1, 1/2, 2, 1/3,..., n, 1/(n +1),... неограниченная, однако подпоследовательность 1/2, 1/3,..., 1/ n,... ее элементов с четными номерами сходится. Но не из каждой неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной последовательности 1, 2,..., n,... расходится. Поэтому теорему Больцано-Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на неограниченные последовательности.