Свойства Править

§ Любая последовательность, имеющая предел, является фундаментальной.Критерий Коши для сходимости функциий: Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

§ Если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность , то она сама сходится.

Пусть задана числовая последовательность { x_n }. Эта последовательность сходится тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что при всех n > N и любых натуральных m выполняется неравенство (т.е. расстояние между членами последовательности с номерами n и n + m меньше ε) – критерий Коши сходимости последовательности.

Пример 1

Рассмотрим последовательность с общим членом Найдем модуль разности между её n -м членом, х_n, и (n + m)-м членом, x_n+m:

Если для любого ε > 0 положить , то при всех n > N и любых натуральных m из наших выкладок следует, что

Итак, взятая последовательность удовлетворяет критерию Коши, поэтому она сходится (имеет предел).

Поскольку а дробь в знаменателе при n →∞ стремится к нулю, её предел равен 3.

Также отметим, что последовательность, удовлетворяющая критерию сходимости Коши, называется также фундаментальной или последовательностью Коши.

Понятие фундаментальной последовательности важно также в любом метрическом пространстве. В частности, если любая фундаментальная последовательность в метрическом пространстве сходится к элементу этого же пространства, такое пространство называется полным. Таким является, например, одномерное пространство действительных чисел (всех точек числовой прямой), но не является множество Q рациональных чисел.

Два определения предела (предельного значения) функции: по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Единственность предела функции в данной точке. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

Пусть f: X → R и x ₀ - предельная точка множества X.

(Гейне): Функция f имеет предельное значение при x → x ₀ (или в точке x ₀), если существует такое число , что для произвольной последовательности (x _n) значений , сходящейся к точке x ₀, соответствующая последовательность значений функции (f (x_n)) сходится к точке A.

(Коши): Функция f имеет предел при x → x ₀, если

При этом число A называем пределом (или предельным значением) функции f в точке x ₀ и записываем

или f (x) → A при x → x ₀.

Определение Гейне и Коши эквивалентны.

Введем понятие одностороннего предела.

(Гейне): Функция f имеет в точке x ₀ предел слева (справа), если существует такое число , что для произвольной последовательности (x_n) значений x, a < x_n < x ₀ (x ₀ < x_n < b), сходящейся к точке x ₀ при n → ∞, соответствующая последовательность (f (x_n)) значений функции f сходится к точке A.

(Коши): Функция f имеет в точке x ₀ предел слева (справа), если