Пределы в бесконечности

Число называется пределом функции на бесконечности (записывается ) если

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на

и на
.
Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел в бесконечности на

и на

Пример

Рассмотрим функцию

При значение функции монотонно растет. Для любого и соответствующего ему найдется такой , например, , что . Иначе говоря, . Что равносильно утверждению .

9. Первый и второй замечательные пределы. Следствия из них. Примеры использования.

Определение 2.11 Первым замечательным пределом называется предел

Теорема 2.14 Первый замечательный предел равен

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел также будет равняться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг

Пусть -- площадь треугольника , -- площадь кругового сектора , а -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

при , получаем, что

(2.3)

Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

(2.4)

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит,

но ( -- нечётная функция), и поэтому

Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.

Доказанная теорема означает, что график функции выглядит так:

Рис.2.28.График

Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.

Пример 2.18 Вычислим предел .

Очевидно, что

при этом предел знаменателя -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,

Второй замечательный предел[править | править исходный текст]

или

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x [показать]

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.