Теорема о единственности предела

Формулировка:

Если функция в точке имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

Докажем методом от противного. Предположим, что , , . Возьмём , по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая -окрестность точки (), в которой одновременно будут выполнятся неравенства , , тогда в точках этой же окрестности . Получили противоречие . Отсюда, функция в точке имеет единственный предел.

Пусть переменная x стремится к a, оставаясь больше a, и при этом . Тогда число A называют правосторонним пределом (или пределом справа) функции и обозначают любым из символических выражений

Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае при x → a со стороны меньших значений:

Для существования обычного (двустороннего) предела функции в точке a необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов:

Например, в точке x = 3 односторонние пределы функции

отличаются друг от друга:

Поэтому в рассматриваемой точке предел функции не существует.