Последовательность
называется бесконечно малой, если
, т.е.
.
Геометрическая интерпретация
Свойства бесконечно малых последовательностей
- Бесконечно малая последовательность ограничена.
- Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
- Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
- Если элементы бесконечно малой последовательности
равны одному и тому же числу
, то
.
Доказательство.
- Пусть
— бесконечно малая последовательность,
— некоторое положительное число. Пусть
— номер, такой, что
. Обозначим
числом A. Получим:, что и означает, что последовательность ограничена. - Пусть
и
— бесконечно малые последовательности. Пусть
— произвольное положительное число,
— номер, начиная с которого
, а
— номер, начиная с которого
. Такие номера найдутся по определению бесконечно малой последовательности. Тогда по свойству модулей
. Обозначим через
наибольший из номеров <
и
. Получим:
, что означает, что последовательность
— бесконечно малая. - Пусть последовательность
— бесконечно малая, а
— ограниченная. По определению,
и. По свойству модулей,
. Получили:
, а это означает по определению, что последовательность
- бесконечно малая.
Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. - Пусть
. Тогда для
. По условию,
, тогда
. Получили противоречие, следовательно,
.
Примеры
- Последовательность
— бесконечно малая, т.к.
. -
- бесконечно малая, т.к.
— ограниченная, а
. -
- бесконечно малая, т.к.
- ограниченная, а
. -
— бесконечно малая при
, т.к.
при
. -
— бесконечно малая, т.к.
, которая является бесконечно малой.
Определение
Последовательность
называется бесконечно большой, если
, или
.
Геометрическая интерпретация
Назовем
-окрестностью точки
множество
.
Введем множества
и
. Назовем эти множества
-окрестностями точек
и
соответственно. Тогда
.
Теорема (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
- Если
— бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера
определена последовательность
, которая является бесконечно малой. - Если все элементы бесконечно малой последовтельности
отличны от нуля, то последовательность
- бесконечно большая.
Доказательство.
- Пусть
— бесконечно большая последовательность, т.е.
. Это означает, что при
все элементы
, поэтому последовательность
имеет смысл с номера
.
Пусть
— любое положительное число, тогда для числа
, что по определению означает, что последовательность
— бесконечно малая. - Второе доказательство проводится аналогично.
Свойства бесконечно больших последовательностей
- Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
- Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
- Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
- Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.
Доказательство.
- Пусть
— бесконечно большие последовательности.
По определению:
и
.
Тогда для последовательности
:
, что означает, что последовательность
— бесконечно большая. - Пусть последовательность
— бесконечно большая,
— ограниченная. Тогда по определению
и
.
Рассмотрим
:
(используются свойства модулей, свойства бесконечно малых последовательностяхи теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
Получили:, что означает, что последовательность
— бесконечно большая. - Доказательство аналогично предыдущему.
- Пусть последовательность
— бесконечно большая,
— константа. Тогда по определению
.
Рассмотрим
:
(по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).
— константа,
— также константа, т.е. ограниченная.
, что означает, что последовательность
— бесконечно большая.
(используются свойства бесконечно малых последовательностей и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
Примеры.