Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.

Определение 1. Если каждому натуральному числу по определённому правилу ставится в соответствие число , то множество чисел называется числовой последовательностью.

Определение 2. Числа, из которых составлена последовательность, называют её членами.

Задать числовую последовательность – значит, задать правило, с помощью которого по номеру члена можно найти этот член, т. е. задать функцию , где – правило соответствия между и , а .

Определение 3. Общим членом последовательности называется её –й член , записанный в виде функции от , т. е. .

Если задано, то последовательность имеет вид . Последовательность нельзя задать указанием нескольких её первых членов.

Определение 4. Числовая последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной последовательностью или просто постоянной.

Пример 1. , т. е. .

Пример 2. , т. е. .

Числовая последовательность – частный случай дискретной переменной величины , принимающей значение . Эта переменная упорядочена, так как если , то предшествует .

Определение 5. Постоянное число называется пределом числовой последовательности , если для всякого можно указать такой номер , начиная с которого все последующие члены последовательности удовлетворяют неравенству

. (1)

Записывается это так: при или (читают: « стремится к при , стремящемся к бесконечности, или предел при , стремящемся к бесконечности, равен »).

Неравенство (1) можно переписать в виде

Или . (2)

Рисунок 1

Определение 6. Интервал (промежуток) называется – окрестностью точки . (рис.1)

Пользуясь понятием – окрестности, определение предела числовой последовательности можно сформулировать следующим образом: число есть предел последовательности , если можно указать такой номер , что все члены последовательности с номерами большими , находятся в – окрестности точки , где – любое как угодно малое положительное число . Иначе говоря, все члены последовательности с номерами, большими , на оси (см. рис.1) изображаются точками, лежащими от точки на расстоянии, меньшем .

Определение 7. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Определение 8. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Докажем теорему о единственности предела последовательности.

Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.

Рис. 49

Допустим противное. Пусть существует такая последовательность x_n , n = 1, 2,..., что = a и = b, причем a b, a , b . Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U (а) и V = V (b) точек а и b (рис. 49): U V = . Согласно определению предела вне окрестности U точки а, в частности в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности { x_n }. Однако точка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности V должны находиться все члены последовательности { x_n }, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие.

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что все члены последовательности удовлетворяют условию , т. е.:

Последовательность называется ограниченной сверху, если:

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность называется ограниченной, если:

это можно записать и так:

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Примеры.

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказтельство:

Пусть последовательность имеет предел, равный а. По определению предела для найдем номер N такой, что при всех имеет место неравенство . Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

.

Поэтому при всех выполняется неравенство:

.

Положим , тогда при всех , т. е. последовательность ограничена.

Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие не выполняется, т. е.

,

то говорят, что последовательность не ограничена.