![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.
Определение 1. Если каждому натуральному числу по определённому правилу ставится в соответствие число
, то множество чисел
называется числовой последовательностью.
Определение 2. Числа, из которых составлена последовательность, называют её членами.
Задать числовую последовательность – значит, задать правило, с помощью которого по номеру члена можно найти этот член, т. е. задать функцию , где
– правило соответствия между
и
, а
.
Определение 3. Общим членом последовательности называется её –й член
, записанный в виде функции от
, т. е.
.
Если задано, то последовательность имеет вид
. Последовательность нельзя задать указанием нескольких её первых членов.
Определение 4. Числовая последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной последовательностью или просто постоянной.
Пример 1. , т. е.
.
Пример 2. , т. е.
.
Числовая последовательность – частный случай дискретной переменной величины , принимающей значение
. Эта переменная упорядочена, так как если
, то
предшествует
.
Определение 5. Постоянное число называется пределом числовой последовательности
, если для всякого
можно указать такой номер
, начиная с которого все последующие члены последовательности удовлетворяют неравенству
. (1)
Записывается это так: при
или
(читают: «
стремится к
при
, стремящемся к бесконечности, или предел
при
, стремящемся к бесконечности, равен
»).
Неравенство (1) можно переписать в виде
Или . (2)
Рисунок 1
Определение 6. Интервал (промежуток) называется
– окрестностью точки
. (рис.1)
Пользуясь понятием – окрестности, определение предела числовой последовательности можно сформулировать следующим образом: число
есть предел последовательности
, если можно указать такой номер
, что все члены последовательности с номерами большими
, находятся в
– окрестности точки
, где
– любое как угодно малое положительное число
. Иначе говоря, все члены последовательности с номерами, большими
, на оси
(см. рис.1) изображаются точками, лежащими от точки
на расстоянии, меньшем
.
Определение 7. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Определение 8. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Докажем теорему о единственности предела последовательности.
Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.
![]() |
Допустим противное. Пусть существует такая последовательность xn
, n = 1, 2,..., что
= a и
= b, причем a
b, a
, b
. Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U (а) и V = V (b) точек а и b (рис. 49): U
V =
. Согласно определению предела вне окрестности U точки а, в частности в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности { xn }. Однако точка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности V должны находиться все члены последовательности { xn }, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие.
Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число
, что все члены последовательности удовлетворяют условию
, т. е.:
Последовательность называется ограниченной сверху, если:
Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность называется ограниченной, если:
это можно записать и так:
Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.
Примеры.
Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности)
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказтельство:
Пусть последовательность имеет предел, равный а. По определению предела для
найдем номер N такой, что при всех
имеет место неравенство
. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:
.
Поэтому при всех выполняется неравенство:
.
Положим , тогда
при всех
, т. е. последовательность
ограничена.
Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность ограничена, но не является сходящейся.
Замечание: Если условие не выполняется, т. е.
,
то говорят, что последовательность не ограничена.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1541 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!