![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть (Х,Y) – двумерная случайная величина, где Х и Y – зависимые случайные величины. Возможно приближенное представление величины Y в виде линейной функции величины Х:
, (2.15)
где и
– параметры, подлежащие определению. Обычно эти параметры определяются методом наименьших квадратов.
Функция (2.15) называется наилучшим приближением в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание принимает наименьшее возможное значение. Функцию
называют среднеквадратической регрессией Y на Х.
Теорема. Линейная среднеквадратическая регрессияY на Х имеет вид:
, (2.16)
где – коэффициент корреляции,
и
– математические ожидания величин Y и Х соответственно.
Коэффициент называют коэффициентом регрессии Y на Х, а прямую
,
реализующую линейную зависимость (2.16) случайной величины Y от случайной величины Х, называют прямой среднеквадратической регрессии Y на Х (линией регрессии Y на X). Поскольку зависимость (2.16) является приближенной, то существует погрешность этого приближения, называемая остаточной дисперсией:
. (2.17)
Аналогичную форму записи имеет прямая среднеквадратической регрессии Х на Y (линия регрессии X на Y):
.
Пример. Найти линейную среднюю квадратичную регрессию и остаточную дисперсию случайной величины Y на случайную величину Х по данным примера п. 2.5.5.
Решение. Для двумерной случайной величины (X,Y), приведенной в примере 2.5.5, все необходимые числовые характеристики найдены:
.
Из уравнения (2.16) получаем искомое соотношение:
или
.
Остаточная дисперсия рассчитывается по формуле (2.17):
.
Для оценки среднеквадратичной погрешности линейной регрессии обычно используют величину , в нашем случае она составляет:
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 503 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!