Центральная предельная теорема. Центральная предельная теорема – это группа теорем об условиях, при которых возникает нормальный закон распределения

Центральная предельная теорема – это группа теорем об условиях, при которых возникает нормальный закон распределения.

При изучении нормального закона была сформулирована теорема: если – независимые нормальные случайные величины с одними и теми же параметрами и , то их сумма также нормальна и имеет параметры и . Кроме того, справедливо равенство

Ф

для любого сколь угодно малого числа . Это равенство практически точно уже при .

Замечательным является то, что это утверждение остается верным при большом числе слагаемых, если отбросить требование нормальности. Это утверждение называется центральной предельной теоремой и кратко формулируется так: сумма большого числа независимых однотипных случайных величин с любым законом распределения приближенно нормальна.

Впервые центральная предельная теорема была получена в XIX веке немецким математиком Линдебергом. Позднее русским математиком А. М. Ляпуновым этот результат был значительно усилен: оказалось, что требование одинакового закона распределения слагаемых не обязательно. Кратко теорема Ляпунова формулируется так: если случайные величины независимы и никакая из них не доминирует над другими, то при достаточно большом числе слагаемых их сумма приближенно нормальна.

Наиболее общая формулировка центральной предельной теоремы была дана советским ученым С. М. Бернштейном.

Центральная предельная теорема объясняет широкое распространение нормального закона в природе. Действительно, в ряде случаев случайные величины представляют собой результат наложения большого числа независимых случайных факторов, каждый из которых не доминирует над остальными, поэтому такие случайные величины практически нормально распределены.