Закон больших чисел. Закон больших чисел – это теорема, доказательство которой основано на следующих леммах

Закон больших чисел – это теорема, доказательство которой основано на следующих леммах.

Лемма 1. Неравенство Маркова. Пусть X – неотрицательная непрерывная случайная величина. Тогда для любого числа справедливо неравенство

.

Доказательство. Докажем неравенство Маркова для случая непрерывной случайной величины. Построим оценку M(X):

При построении оценки использованы определение математического ожидания непрерывной случайной величины, условие неотрицательности случайной величины Х, свойство плотности вероятности:

для .

Из полученной оценки после деления на получаем требуемое неравенство.

Пример 1. Среднее количество вызовов, поступающих в течение часа на телефонную станцию, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение часа число вызовов:

1) превысит 400; 2) будет не более 500.

Решение. Пусть Х – число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение часа. По условию задачи .

Используя неравенство Маркова, получаем:

1) ;

2) .

Ответ: ; , т. е. не более чем в 75% случаев на станцию в течение часа поступит более 400 вызовов; не менее чем в 40% случаев в течение часа на станцию поступит не более 500 вызовов.

Лемма 2. Неравенство Чебышева. Пусть Х – случайная величина с числовыми характеристиками и . Тогда для любого числа справедливо неравенство:

.

Доказательство. Используя неравенство Маркова и определение дисперсии, имеем:

что и требовалось доказать.

Пример 2. Средний расход воды на перерабатывающей станции составляет 1000 л в день. Отклонение от нормы не превышает 200 л в день. Оценить вероятность того, что расход воды в день не превысит 2000 л: 1) по неравенству Маркова; 2) по неравенству Чебышева.

Решение. Пусть случайная величина Х – расход воды в день (л).

По условию задачи и . Построим оценки:

1) ;

т. е. по неравенству Чебышева.

В данной задаче оценку вероятности события, найденную с помощью неравенства Маркова , удалось уточнить с помощью неравенства Чебышева .

Будем в дальнейшем кратко называть случайные величины однотипными, если они имеют одно и то же математическое ожидание а и одну и ту же дисперсию D.

Лемма 3. О среднем арифметическом. Пусть – независимые однотипные случайные величины с числовыми характеристиками а и D. Тогда для любого числа справедливо неравенство:

.

Доказательство. Случайная величина

имеет числовые характеристики и . Это следует из свойств математического ожидания и дисперсии для независимых случайных величин:

;

Применяя к случайной величине Х неравенство Чебышева, получим:

,

что и требовалось доказать.

Теорема. Закон больших чисел. Пусть – последовательность независимых однотипных случайных величин с математическим ожиданием а.

Тогда для любого числа

при . (2.18)

Последнее означает, что при достаточно больших с практической достоверностью (с вероятностью

,

т. е. среднее арифметическое большого числа однотипных независимых случайных факторов практически неслучайная величина.

Доказательство. Всилу леммы 3 и с учетом того, что получаем двойное неравенство:

.

Учитывая, что и свойство пределов «О двух милиционерах», получаем требуемое соотношение (2.18). Закон больших чисел был впервые получен русским математиком П. Л. Чебышевым.