Закон распределения Пуассона

Если n велико, а p – мало, то хорошим приближением биномиального закона является закон Пуассона, который представляет собой закон распределения вероятностей массовых и редких событий.

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если она имеет бесконечное, но счетное множество возможных значений 0, 1, 2, …, k, … с вероятностями

, ,

где число – параметр закона Пуассона.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна единице:

Мы воспользовались разложением функции в ряд Маклорена:

Теорема. Если дискретная случайная величина Х распределена по закону Пуассона, то её числовые характеристики равны:

. (2.7)

Доказательство. Докажем только первую формулу .

С формулой Пуассона связан так называемый простейший поток событий.

Поток событий – это последовательность однородных событий, которые наступают одно за другим в случайные моменты времени. Они часто встречаются в системах массового обслуживания (количество вызовов скорой помощи, такси и др.).

Простейший поток событий – это поток событий со свойствами:

стационарность: вероятность того, что за время t произойдет k событий, т. е. , зависит только от k и t и не зависит от начала и конца отсчета временного промежутка;

отсутствие последействия: предыстория потока не влияет на вероятность появления событий в будущем;

ординарность: появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно (например, поток поездов, подходящих к станции).

Простейший поток характеризуется интенсивностью (среднее число событий за единицу времени). Тогда – число событий за промежуток t.

Обозначим – вероятность появления k событий за промежуток времени t, тогда

.