Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина Х называется показательно-распределенной с параметром , если её плотность вероятности задается формулой:

Из определения плотности мы знаем, что неотрицательна, следовательно, параметр . График изображен на рис. 2.12.

Убедимся в том, что площадь, заключенная между графиком и осью Ох, равна единице:

Составим функцию распределения для показательного закона и построим её график (рис. 2.13).

Заметим, что с возрастанием x функция F(x) возрастает. Это означает, что если представить x как время, а F(x) – как вероятность отказа за время x некоторого устройства, то со временем эта вероятность в результате износа устройства постепенно растет. Таким образом, примером случайной величины, распределенной по показательному закону, может быть – время безотказной работы некоторого устройства.

Показательный закон играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Например, случайная величина Х, равная интервалу времени между двумя соседними событиями в простейшем потоке, имеет показательное распределение с параметром – интенсивность потока.

Теорема. Числовые характеристики показательно распределенной непрерывной случайной величины вычисляются по формулам:

. (2.9)

Доказательство. 1. Используя формулу интегрирования по частям находим математическое ожидание:

2. Для вычисления дисперсии найдем , используя формулу интегрирования по частям:

По свойству 4 дисперсии имеем:

.

Тогда , что и требовалось доказать.