Биномиальный закон распределения. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, если она может принимать значения 0

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, если она может принимать значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями

,

где .

Например, случайная величина, равная количеству успехов в схеме Бернулли n повторных независимых испытаний, имеет биноминальное распределение. В этом случае m – число успехов, p – вероятность успеха, q – вероятность неуспеха. Ряд распределения этой случайной величины:

.

Теорема. Числовые характеристики дискретной случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, вычисляются по формулам:

(2.6)

Доказательство. Случайную величину Х – число успехов в n независимых испытаниях – можно представить в виде суммы n независимых случайных величин

,

где случайная величина – число успехов в m-м испытании (m = 1, 2, …, n). Каждая из случайных величин имеет по два возможных значения и один и тот же закон распределения:

.

Найдем числовые характеристики случайной величины :

,

.

Теперь найдем числовые характеристики рассматриваемой случайной величины Х:

,

что и требовалось доказать.

Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, в теории массового обслуживания и других областях.