Нормальный закон распределения. В повседневной жизни широко распространен нормальный закон, примерами нормально распределенной случайной величины являются: Х – результаты измерения с помощью

В повседневной жизни широко распространен нормальный закон, примерами нормально распределенной случайной величины являются: Х – результаты измерения с помощью прибора; Х – размер серийно выпускаемой детали, при этом M(X) – стандартный размер детали, – погрешность в размере детали; Х – рост человека; Х – высота стебля растения.

Непрерывная случайная величина называется нормально распределенной с параметрами , если её плотность вероятности задается формулой:

,

где .

Все свойства f(x) и её график (рис. 2.14) получены из свойств и графика функции Гаусса y = j(x) (рис. 2.15). Площадь, заключеннаямежду графиком f(x) и осью Ох равна единице. Именно из этих соображений подобран постоянный множитель: , при этом используется свойство f(x): .

Теорема. Если непрерывная случайная величина Х нормально распределена c плотностью вероятности (2.9), то её числовые характеристики равны:

(2.10)

Доказательство. Докажем только первое равенство.

Первое слагаемое равно нулю, т. к. содержит интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку, тогда

, т. к

Второе равенство получается аналогично по свойствам интеграла и функции Гаусса.

Таким образом, параметры непрерывной случайной величины Х – это математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой величины.