Функция распределения F(x) нормальной случайной величины

Справедливо равенство

, (2.11)

где – функция Лапласа (рис. 2.16).

Используя преобразование графика функции Лапласа (рис. 2.16), получаем график функции распределения F(x) нормального закона (рис. 2.17).

.

Для нормально распределенной случайной величины Х имеют место следующие свойства.

Свойство 1. Для нормально распределенной случайной величины с параметрами вероятность попадания на промежуток вычисляется по формуле:

. (2.12)

Доказательство. По свойству плотности вероятности, свойству интеграла и равенству (2.11) имеем:

,

что и требовалось доказать.

Свойство 2. Для нормально распределенной случайной величины Х с параметрами вероятность отклонения Х от своего среднего значения а меньше, чем на , вычисляется по формуле

. (2.13)

Доказательство. Используя равенство (2.12)и нечетность функции Лапласа, получаем требуемое:

.

Свойство 3. Правило трех сигма. Все значения нормально распределенной случайной величины с практической достоверностью лежат в интервале , т. е.

.

Доказательство:

.

Свойство 4. Пусть – независимые нормальные случайные величины с параметрами . Тогда случайная величина также нормально распределена и

.

Пример 1. Заданы математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (9; 14);

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х – а окажется меньше .

Решение. Необходимо использовать свойства 1 и 2.

1)Подставив значения , , , в формулу , получим:

2) Подставив значения , в формулу свойства 2, получим:

Пример 2. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с параметрами и . Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса этой величины от 49 до 51.

Решение. По условию задачи имеем: , , , . По свойству 1

Следовательно, спрос на 50-й размер составит , и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.

Все перечисленные основные законы распределения и их числовые характеристики представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Сводка основных законов распределения

Название	Закон	Числовые характеристики	Примеры
М	D
1. Равномерный					Время ожидания автобуса
2. Биномиальный (закон Бернулли)					Число успехов в схеме Бернулли
3. Закон Пуассона					Простейший поток событий (число событий за промежуток времени , где – число событий за единицу времени
4. Геометрический закон					Число испытаний в схеме Бернулли до первого успеха
5. Показательный закон					Время безотказной работы прибора; продолжительность телефонного разговора
6. Нормальный закон (Гаусса)					Размер серийно изготовленной детали (а – стандартный размер; – погрешность, отклонение от стандарта)