![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Справедливо равенство
, (2.11)
где – функция Лапласа (рис. 2.16).
Используя преобразование графика функции Лапласа (рис. 2.16), получаем график функции распределения F(x) нормального закона (рис. 2.17).
.
Для нормально распределенной случайной величины Х имеют место следующие свойства.
Свойство 1. Для нормально распределенной случайной величины с параметрами вероятность попадания на промежуток
вычисляется по формуле:
. (2.12)
Доказательство. По свойству плотности вероятности, свойству интеграла и равенству (2.11) имеем:
,
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Для нормально распределенной случайной величины Х с параметрами вероятность отклонения Х от своего среднего значения а меньше, чем на
, вычисляется по формуле
. (2.13)
Доказательство. Используя равенство (2.12)и нечетность функции Лапласа, получаем требуемое:
.
Свойство 3. Правило трех сигма. Все значения нормально распределенной случайной величины с практической достоверностью лежат в интервале , т. е.
.
Доказательство:
.
Свойство 4. Пусть – независимые нормальные случайные величины с параметрами
. Тогда случайная величина
также нормально распределена и
.
Пример 1. Заданы математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
нормально распределенной случайной величины Х. Найти:
а) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (9; 14);
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х – а окажется меньше .
Решение. Необходимо использовать свойства 1 и 2.
1)Подставив значения ,
,
,
в формулу
, получим:
2) Подставив значения ,
в формулу свойства 2, получим:
Пример 2. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с параметрами и
. Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса этой величины от 49 до 51.
Решение. По условию задачи имеем: ,
,
,
. По свойству 1
Следовательно, спрос на 50-й размер составит , и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.
Все перечисленные основные законы распределения и их числовые характеристики представлены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Сводка основных законов распределения
Название | Закон | Числовые характеристики | Примеры | ||
М | D | ![]() | |||
1. Равномерный |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Время ожидания автобуса |
2. Биномиальный (закон Бернулли) | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Число успехов в схеме Бернулли |
3. Закон Пуассона | ![]() ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Простейший поток событий (число событий за промежуток времени ![]() ![]() |
4. Геометрический закон |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Число испытаний в схеме Бернулли до первого успеха |
5. Показательный закон | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Время безотказной работы прибора; продолжительность телефонного разговора |
6. Нормальный закон (Гаусса) | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Размер серийно изготовленной детали (а – стандартный размер; ![]() |
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 437 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!