Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ, т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства. .

Используя формулу Лапласа, получим:

(**)

Пример. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х соответственно равны: а = 20, σ = 10. найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение. Применим формулу:

а = 20, σ = 10, δ = 3.

.

По таблице находим: Ф(0,3) = 0,1179.

.

Преобразуем формулу (**).

Пусть δ = σt, если t =3, получим δ = 3 σ. Тогда .

Это означает, что вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения равна 0,9973 и вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение очень мала, а именно равна 0,0027%. Это означает, что только в 0,27% случаев так произойдет. Такое правило называется правилом трех сигм.