Функция распределения и ее свойства

ДСВ может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Для НСВ этот способ неприменим.

Действительно, рассмотрим случайную величину Х, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (a, b). Очевидно, что в этом случае нельзя составить перечень всех возможных значений Х. Поэтому необходимо дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью вводятся функции распределения вероятностей случайных величин.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение меньшее х, т.е. вероятность события Х < x обозначим F (x), где F (x) есть функция от х.

Функцией распределения называют функцию F (x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньше чем х, т.е. F (x) = P (Х < x).

Геометрически это означает, что F (x) есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Определение. Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Рассмотрим свойства функции распределения.

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]: .

Свойство 2. F (x) – неубывающая функция, т.е. , если . Из этого свойства следующие следствия.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) равна приращению функции распределения на этом интервале: .

Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,2):

P (0 < X < 2) = F (2) – F (0).

Решение. На интервале (0,2) по условию

, тогда ;

.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение равна нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то:

1) F (x) = 0 при ;

2) F (x) = 1 при .

Следствие. Если возможные значения НСВ расположены на всей оси х, то: .