Нормальное распределение. Числовые характеристики НСВ

Определение 1. Математическим ожиданием НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:

.

Если возможные значения принадлежат всей оси O x, то

.

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует .

Определение 2. Дисперсией НСВ, называют математическое ожидание ее отклонения:

.

Среднее квадратичное отклонение: (также для ДСВ).

Определение 3. Нормальным называют распределение вероятностей НСВ, которое описывается плотностью:

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и σ, где

а – математическое ожидание;

σ – среднее квадратическое отклонение.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Исследуем функцию:

.

1. Очевидно, что функция определена на всей числовой оси.

2. При всех значениях x функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью OX.

3. Предел функции при неограниченном возрастания равен нулю: , т.е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функцию на экстремум найдем:

;

.

Если , ; если , то ; если , то . Следовательно при функция имеет максимум: .

5. График функции симметричен относительно прямой .

6. Найдем точки перегиба функции. Найдем .

;

Показать самостоятельно, что при и вторая производная и при переходе через эти точки она меняет знак; и точки ; - являются точками перегиба. При и график нормальной кривой имеет вид:

Изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси ОХ, вправо, если, а возрастает и влево, если убывает.

Можно показать, что с возрастанием ордината нормальной кривой убывает, кривая становится пологой, т.е. сжимается к оси ОХ; при убывании нормальная кривая становится равной 1.

Графики имеют такой вид:

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β) равна:

.

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться функцией Лапласа, и получим формулу:

(*)

Пример. Случайная величина распределена по нормальному закону. Математическое ожидание а = 30, среднее квадратическое отклонение σ = 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. α = 10, β = 50, а = 30, σ = 10.

По формуле (*):

По таблице находим: = 0,4772