Интегральная теорема Лапласа. Пусть производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна, равна p

Пусть производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна, равна p, 0 ≤ p ≤ 1. Как найти вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее и не более раз (от до раз). На этот вопрос дает ответ интегральная теорема Лапласа.

Теорема. Если вероятность события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от до раз, приблизительно равна определенному интегралу:

, (1)

где ; (2)

Формулу (1) можно записать так:

Неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции, поэтому составлена таблица значений для интеграла (см. приложение 2 в учебнике Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика). В таблице даны значения для , для используется таже таблица, функция нечетная: и для можно принять: .

Чтобы можно было пользоваться таблицей функции , которую называют функций Лапласа формулу (1) преобразуют к виду:

,

где и находятся по формулам (2).

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна: . Найти вероятность того, что среди 400 отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию ; тогда ; ; ; .

По теореме Лапласа: . Найдем и .

.

Получаем:

По таблице прил. 2, находим: ; , тогда искомая вероятность:

Замечание. Пусть m число появлений события А в n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна P. Если m изменяется от до , то интегральную теорему Лапласа можно записать так:

.