Сборка решения и построение графиков

Рис. 15.

Рассмотрим стационарную задачу теплопроводности для бесконечной полосы – пластины с теплоотдачей (рис.15) уравнения теплопроводности имеет вид

. (1)

Здесь , где - температура окружающей среды;

- температура точек пластины;

- коэффициент теплопроводности;

- удельная теплоемкость;

- коэффициент теплоотдачи.

Для стационарного режима . Тогда получим

, (2)

где .

Граничные условия на кромках пластины

(3)

, (4)

когда задана температура и

(5)

, (6)

когда задана проекция теплового потока на внешнюю нормаль. Возможно сочетание этих граничных условий на разных кромках пластины.

При

2. Переход в пространство изображений

Применим к УЧП (2) и граничным условиям (3)-(6) комплексное преобразования Фурье по координате x. Получим обыкновенное дифференциальное уравнение

, (7)

где . (8)

Граничные условия задаются по одному на каждой границе y=0 и y=H.

(9)

(10)

(11)

(12)

Решаем уравнение (7), составляя характеристическое уравнение

(13)

Тогда решение дифференциального уравнения (7) имеет вид

(14)

Постоянные интегрирования и находим из граничных условий.

Возможны следующие их сочетания.

2.1 Для граничных условий (9) и (10) получим

тогда

(15)

2.2 Для граничных условий (11) и (12) возьмем производную

,

тогда

Решение (14) имеет вид

(16)

2.3 Для граничных условий (10) и (11) получим

. (17)

2.4 Для граничных условий (9), (12) имеем

(18)