Решение неоднородного УЧП с однородными начальными и граничными условиями

Представим решение неоднородного уравнения в виде ряда по собственным функциям

(33)

При этом функция удовлетворяет уравнению

(34)

и начальным условиям

Разложим в ряд Фурье правую часть уравнения (34) и подставив в него выражение (32), приравняем коэффициенты при одинаковых . Получим неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение

. (35)

и однородные начальные условия

(36)

Общее решение уравнения (34) представим в виде

T_n(t)=T_n^*(t)+T_n^**(t), (37)

где T_n^*(t) – общее решение уравнения (35),

T_n^**(t) – частное решение уравнения (35).

Учитывая решение(27) уравнения (26), получим

(38)

Частное решение ищем по виду правой части уравнения (34)

(39)

Подставляя (38) в (34) и прирaвнивая коэффициенты при и , получим

Отсюда находим

, ,

где

(40)

Подставляя (36), (37), (38) в граничные условия (35) определим постоянные
A_n ^* и B_n ^*

(41)

Подставляя (37), (38) и (40) в (36) получим

(42)

Подставляя (42) в(32), а затем в (14) получим

(43)