Операции над случайными величинами

Поставим такую задачу: зная законы распределения отдельных случайных величин Х и Y, найти закон распределения системы (Х,Y) этих случайных величин. Примерами таких совокупностей случайных величин являются X+Y, X-Y, ХY, X , kX (k=const) и.т.д.

Как отмечено выше, это можно сделать, если случайные величины Х и Y, образующие систему, независимы.

Рассмотрим X и Y – две независимые дискретные случайные величины с законами распределения соответственно:

X

…

…

Y

…

…

.

P

…

…

P

…

…

Тогда система (X, Y) этих случайных величин принимает свои значения с вероятностями (с учетом независимости X и Y):

.

Таким образом, вероятность того, что Х примет значение , а Y – значение , равна произведению соответствующих вероятностей:

Сумма случайных величин X и Y – это новая случайная величина X + Y, которая принимает все значения вида с вероятностями .

Аналогично определяются разность и произведение случайных величин.

Разность Х – Y (произведение XY) случайных величин X и Y – - новая случайная величина, которая принимает все значения вида: и с такими же вероятностями , с какими случайная величина X + Y принимает соответствующие значения.

Произведение kX случайной величины Х на постоянную величину k – новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные произведениям значений Х на k.

Х±У	xi ± yj		XY	xi · yj
Р		,	P

Квадрат случайной величины Х, т.е. – новая случайная величина, которая принимает свои значения с теми же вероятностями, что и Х.

Заметим, что случайные величины Х + Х и 2 Х имеют разные законы. Это же относится к случайным величинам и .