Нормальный закон распределения. Нормальный закон распределения определяется плотностью вероятности

Легко убедиться, что кривая, определяемая функцией распределения (5.1), имеет максимум в точке x=m, а точки перегиба отстоят от точки x=m на расстоянии s и при функция (5.1) асимптотически приближается к нулю. График функции (5.1) изображен на рис. 5.1.

Рис. 5.1

В зависимости от величины параметров кривая плотности вероятности имеет различный вид и поэтому правильнее было бы говорить о семействе нормальных законов распределения. На рис. 5.2 показана зависимость формы кривой распределения от величины s при фиксированном m.

Рис. 5.2

5.2. Вероятностный смысл параметров функции
распределения

Выясним теперь вероятностный смысл параметров функции распределения. Для этого вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной нормально.

Введем новую переменную

.

Тогда

Первый интеграл равен нулю, так как под знаком интеграла стоит нечетная функция, а пределы интегрирования симметричны. Второй интеграл известен как интеграл Пуассона: .

Поэтому M(Х)=m.

Если сделать ту же замену переменных и выполнить необходимые преобразования, то можно убедиться, что

.

Итак, параметры нормального закона распределения m и s равны соответственно математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению случайной величины распределенной по этому закону. Так как параметры однозначно определяют нормальный закон распределения, то для нормального закона часто используют обозначение .

5.3. Вероятность попадания случайной величины
в заданный интервал

Пусть случайная величина имеет закон распределения . Вычислим вероятность того, что она примет значение из интервала (a,b).

На основании свойств функции плотности вероятности можно записать:

=| сделаем замену переменных |=

Введем в рассмотрение функцию Лапласа:

С её помощью искомую вероятность можно записать в виде

(5.2)

Интеграл в явном виде не берется, и значения функции Ф(х) были вычислены с помощью численных методов, а результаты сведены в таблицу [4]. По таблице для каждого x можно найти соответствующее значение функции Ф(х). Функция Ф(х) нечетная, т.е , графически это выглядит так (рис. 5.3).

Вследствие нечетности функции таблицы обычно приводятся только для положительных значений х и только из интервала . При значениях х >4 значения функции Ф(х) можно брать равным 0.5.

Рис. 5.3

5.4. Вероятность отклонения случайной величины
от математического ожидания

Для случайной величины, имеющей закон распределения , найдем вероятность того, что отклонение этой случайной величины от своего математического ожидания не превысит величины a, т.е. вычислим вероятность

Неравенство под знаком вероятности эквивалентно неравенствам -a<x-m<a или . Заменим в формуле (5.2) a через m-a, b – через m+a, тогда

В результате получим формулу

=2 . (5.3)

Вероятности, определяемые формулой (5.3) применяются в теории ошибок измерений, в теории стрельб, в теории допусков и т.д. Это объясняется тем, что в этих теориях многие расчеты используют нормальный закон распределения в качестве модели для случайных ошибок, для отклонений от цели и т.д. Например, если m – расчетный размер детали, а Х – её фактический размер, то данная формула дает вероятность того, что истинный размер детали отличается от расчетного менее чем на α.