Показательный закон распределения. Показательный закон распределения определяется интегральной функцией распределения: , где l>0 – некоторый параметр

Показательный закон распределения определяется интегральной функцией распределения: , где l>0 – некоторый параметр. График этой функции изображен на рис. 3.3.

Рис. 3.3

Из графика видно, что P(X<0)=F(0)=0, т.е. X принимает только неотрицательные значения. Кроме того, значения, близкие к нулю, более вероятны, нежели все другие. Функция возрастает вблизи нуля наиболее быстро, и ее приращения, равные вероятности попадания в интервал, для интервалов, расположенных вблизи нуля, будут больше, чем для таких же интервалов, расположенных в любом другом месте числовой оси. По такому закону распределено, например, время безотказной работы бытовых приборов и других сложных устройств.

Следует отметить, что показательный закон распределения тесно связан с рассмотренным выше распределением Пуассона.

Пусть случайные события на оси времени распределены по закону Пуассона с параметром , т.е. вероятность того, что на отрезке времени длительности х произойдет m событий, равна: P(m)= . Зафиксируем момент наступления события и найдем вероятность того, что до момента наступления следующего события пройдет времени больше, чем х. Это означает, что за время х не появится ни одного события и Р(0)= . Тогда вероятность того, что между моментами появления событий времени будет меньше х, равна 1-е (как вероятность противоположного события). В результате приходим к показательному распределению

P(X<x)=F(х)= 1-e .

Поток, в котором интервалы между моментами наступления последовательных событий распределены по показательному закону, называется простейшим или Пуассоновским. Итак, если события во времени или пространстве распределены по закону Пуассона, то интервалы между последовательными событиями распределены по показательному закону.

Замечание. Пусть дискретная случайная величина имеет закон распределения:

X				…
P				…		.

Тогда её интегральная функция распределения имеет вид ступенчатой функции (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Скачки функции равны вероятностям соответствующих значений X.

Интегральная функция непрерывной случайной величины представляет собой непрерывную функцию. Можно привести примеры таких случайных величин, интегральная функция которых не везде является непрерывной неубывающей функцией, а в некоторых точках имеет разрывы. Такие величины называют смешанными случайными величинами.