Дифференциальная функция распределения. Дифференциальной функцией распределения, или функцией плотности вероятности называется первая производная от интегральной функции распределения

Дифференциальной функцией распределения, или функцией плотности вероятности называется первая производная от интегральной функции распределения, т.е. F'(х)=f(х). Из этого определения видно, что функция плотности вероятности существует только для непрерывных случайных величин.

Пусть случайная величина X задана функцией плотности вероятнос­ти f(х). Вероятность того, что эта случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу [ a,b ], равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения в пределах от a до b:

.

Это следует из того, что P(a<X<b)=F(b)-F(a), а по формуле Ньютона-Лейбница

.

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу [ a,b ], равна площади, которая опирается на этот интервал и ограничена сверху кривой f(х).

Рис. 3.5

Свойства дифференциальной функции распределения:

1. , так как f(х) является производной от неубывающей функции F(x).

2. , т.е. площадь, заключенная между осью Ох и функцией f(x), равна единице. Это следует из того, что

,

а событие является достоверным, и его вероятность равна единице.