Простейший поток событий. Мы рассмотрели формулу Пуассона как приближение для формулы Бернулли

Мы рассмотрели формулу Пуассона как приближение для формулы Бернулли. Однако значение её гораздо шире. Пусть события происходят во времени и фиксируются случайные моменты их появления (например, моменты распада атомов в кусочке радия, моменты прихода посетителей в систему массового обслуживания, моменты прохождения автомашин через пункт ДПС на шоссе, моменты выхода из строя некоторого устройства и т. д.). Для наглядности можно моменты наступления событий отмечать на числовой оси точками. Во всех подобных ситуациях мы имеем дело с простейшим потоком событий.

Определение 2.1. Поток является простейшим, если выполняются условия:

1. Появление или непоявление события в момент t не зависит от событий, предшествующих моменту t.

2. Вероятность появления события за малый промежуток времени пропорциональна длине этого промежутка, т.е. равна , где – некоторая постоянная.

3. Вероятность появления двух и более событий за малый промежуток времени есть величина более высокого порядка малости по сравнению с .

Вероятность того, что за отрезок времени длины τ произойдет k событий равна: Р_n (k)= . Параметр в условиях 2 и 3 равен среднему числу событий за единицу времени. Среднее число событий за время τ равно τ.

Смысл условий 1, 2, 3 состоит в том, что события, образующие поток, должны быть независимы, а поток ординарным, т.е. события должны происходить по одному, а не группами. Ясно, что условия эти не жёстки и можно назвать много ситуаций, в которых они хотя бы приближенно выполняются. Приведенные условия можно нестрого переформулировать следующим образом. Пусть события происходят независимо друг от друга во времени (или пространстве) и поток событий ординарен. Тогда, если на интервал времени приходится в среднем событий, то вероятность попадания на этот интервал к событий приблизительно равна: Р(k)= .