Интегральная функция распределения

Все по отдельности возможные значения непрерывных случайных величин перечислить нельзя – их бесконечно много. Поэтому естественно указывать вероятности не для отдельных значений, а для целых интервалов. Рассмотрим значения случайной величины Х такие, что Х<х. Вероятность события X<х зависит от x, т.е. является функцией x. Эта функция и называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины и обозначается через F(х). Итак, по определению

F(х)=P(X<x).

Для наглядности можно представить себе такую картину. На числовую ось наугад бросаем точку (в соответствии с некоторым законом распределения). Тогда F(х) для каждого x указывает вероятность того, что точка упадёт левее x

Непосредственно из определения интегральной функции распределения вытекают следующие свойства F(х):

1. . Это следует из того, что F(х)=P(X<x), а вероятность P – есть число, заключённое между нулём и единицей.

Нетрудно видеть, что , так как события X<-¥ и X<¥ являются соответственно невозможными и достоверными.

2. Интегральная функция распределения является неубывающей, т.е. при . В самом деле, пусть . Событие можно разложить на два события: и . События эти несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей имеем

или

.

Так как в правой части стоит неотрицательная величина, то

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала [ a,b ], равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале:

Следствие 2. Если функция F(х) непрерывна, то вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно единственное значение, равна нулю. Это следует из того, что

при Dx®0, следовательно,

Р(х Р(Х=х)=0.

Можно провести следующую аналогию. Геометрическая точка не имеет размера, а интервал, состоящий из точек, имеет длину, отличную от нуля. Так и для непрерывных случайных величин одно единственное значение имеет нулевую вероятность, а интервал имеет вероятность, отличную от нуля. В общем случае график функции F(х) изображен на рис. 3.2. Если рассмотреть на оси Ох интервалы одинаковой длины, то вероятность попасть в какой-то из них для случайной величины Х будет тем больше, чем больше окажется приращение функции F(х) на этом интервале.

Рис. 3.2