Формула Пуассона. Если зафиксировать число опытов n, а вероятность появления события в одном опыте р изменять, то многоугольник распределения будет иметь различный вид в

Если зафиксировать число опытов n, а вероятность появления события в одном опыте р изменять, то многоугольник распределения будет иметь различный вид в зависимости от величины р (рис.2.4). При значениях p, близких к 1/2, многоугольник почти симметричен и хорошо вписывается в симметричный график функции Лапласа. Поэтому приближенная формула Лапласа дает хорошую точность.

Рис. 2.4.

Для малых р (на практике меньших ) приближение плохое из-за несимметричности многоугольника распределения. Поэтому возникает задача найти приближенную формулу для вычисления вероятностей в случае больших n и малых р. Ответ на этот вопрос дает формула Пуассона.

Итак, рассмотрим схему независимых испытаний, в которой n велико (чем больше, тем лучше), а р мало (чем меньше, тем лучше). Обозначим nр = λ. Тогда по формуле Бернулли имеем

.

Последнее равенство верно в силу того, что (второй замечательный предел). При получении формулы наивероятнейшего числа появления события k ₀ было рассмотрено отношение вероятностей. Из него следует, что

Таким образом, при k много меньших n имеем рекуррентное соотношение

.

Для k =0 учтем полученный ранее результат: , тогда

………………

Итак, если в схеме независимых испытаний n велико, а р мало, то имеет место формула Пуассона

Р_n(к) , где λ =nр.

Закон Пуассона еще называют законом редких явлений.