Локальная теорема Лапласа. Решим следующую задачу (задача Банаха)

Решим следующую задачу (задача Банаха). Некто носит в кармане две коробки спичек (по 60 спичек каждая) и всякий раз, когда нужна спичка, наугад берет коробку и вынимает спичку. Какова вероятность того, что когда первая коробка будет пуста, во второй все еще останется 20 спичек? Выбор коробки можно рассматривать как независимое испытание, в котором с вероятностью выбирается первая коробка. Всего опытов производится n = 60+40=100, и в этих ста опытах первая коробка должна быть выбрана 60 раз. Вероятность этого равна:

.

Из записи видно, что при больших n пользоваться формулой Бернулли затруднительно из-за громоздких вычислений. Существуют специальные приближенные формулы, которые позволяют находить вероятности , если n велико. Одну из таких формул дает следующая теорема.

Теорема 2.1. ( Лапласа локальная ). Если в схеме Бернулли , то вероятность того, что событие A наступит ровно k раз, удовлетворяет при больших n соотношению

где .

Для удобства вводится в рассмотрение функция – локальная функция Лапласа, с помощью которой теорему Лапласа можно записать так:

Существуют специальные таблицы функции [4], по которым для любого значения: можно найти соответствующее значение функции. Получены эти таблицы путем разложения функции в ряд.

Геометрически этот результат означает, что для больших n многоугольник распределения хорошо вписывается в график функции, стоящей в формуле справа (рис. 2.3) и вместо истинного значения вероятности можно для каждого k брать значение функции в точке k.

Рис. 2.3. Локальная функция Лапласа

Вернемся теперь к задаче. Используя формулу (2.1) находим:

,

где значение определено по таблице [4].