Пример 1.3

С помощью перестановок можно решать такие задачи: три человека могут сесть за парту в аудитории 3! = = 6 способами; десять человек встать в очередь или разместиться за столом может 10! различными способами (это число больше 3 млн).

Выясним теперь вопрос о том, сколько существует выборок объема r из n элементов, которые отличаются между собой хотя бы одним элементом. Группы из n элементов по r, отличающиеся только составом, называются сочетаниями из n по r. Число таких различных групп обозначается символом C . Получим формулу для подсчета всех возможных сочетаний C . Обратим внимание на то, что если наряду с каждым сочетанием рассматривать и все перестановки из r составляющих его элементов, то получим всевозможные размещения. Таким образом, выполняется равенство

,

отсюда

C = .

Преобразуем С к более удобной для запоминания форме, для этого умножим числитель и знаменатель дроби на (n – r)!.

С = .

Из полученной формулы вытекает полезное равенство: С =С .