Признаки возрастания и убывания функции

Теорема:

Если функция дифференцируема на отрезке и возрастает на этом отрезке , причем разве лишь в конечном числе точек.

Доказательство:

Пусть функция возрастает на отрезке , тогда (2)

Пусть:

Перейдя к lim в этих неравенствах

Теорема 2:

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на этом отрезке и , то функция возрастает на этом отрезке.

Доказательство:

Пусть и - любые точки на отрезке и пусть для определенности , тогда на выполняются все условия Лагранжа. , где , следовательно , но по условию следует -возрастает и т.д.

Теорема 3:

Аналогично можно доказать теорему 3. Если функция дифференцируема на отрезке и убывает на этом отрезке, то для всех функция .

Теорема 4:

Если функция непрерывна и дифференцирована на и , , то функция - убывает на этом отрезке.