Дифференцирование сложной функции

Опр. Функция наз. сложной, если в качестве её аргумента используется другая функция.

Пусть заданы две функции y = f (u) и u = g (x), тогда выражение y= f [ g (x)]

наз. сложной функцией, y = f(u) - внешней функцией, u = g (x)- внутренней функцией, u - наз. сложным аргументом, х – независимым аргументом.

Пр. y = 3lg (1 + x ²) или y = 3lg(u), где u = 1 + x ² - сложный аргумент.

В общем случае

сложная функция формируется

по принципу матрешки

Теорема. Если функция y = f (u) дифференцируема в точке u, а функция u = g (x)дифференцируема в точке х, то y = f [ u (x)] также дифференцируема в точке х и

y`<sub>x</sub> = f `_u u`_x или (4)

т.е. производная от сложной функции равна произведению двух производных: производной от внешней функции по сложному аргументу и производной от внутренней функции по независимому аргументу.

Доказательство.

В силу дифференцируемости и непрерывности обеих функций малому приращению аргумента x соответствует малое приращение u и они взаимозаменяемы

y`<sub>x</sub> = = = = y`_u u`_x