Производные от суммы, произведения, частного

Функция может состоять из отдельных частей, связанных знаками арифметических операций. В этом случае производная от функции распадается на производные от её составных частей по следующим правилам:

1. [ u (x) + v (x) ]` = u` (x) + v` (x)

Производная от суммы функций есть сумма производных.

2. [ u (x) v (x)]` = u` (x) v (x) + u (x) v` (x)

Общий случай: (u v w)` = u` v w + u v` w + u v w`

3. [ ]` =

Доказательства:

1. [ u (x) + v (x)]` = =

= + = u `(x <sub>0</sub>) + v `(x ₀)

2. [ u (x) v (x)]` = =

= = +

+ u (x ₀) = u` (x <sub>0</sub>) v (x <sub>0</sub>) + u (x <sub>0</sub>) v` (x ₀)

В числитель дважды ввели u (x ₀) v (x) со знаками + и –.

3. Представим частное y = в виде произведения u = y v и продифферен-цируем его: u` = y`v + y v` или y`v = u` - v`. Отсюда [ ]` = .