Свойства функций, непрерывных в точке

1⁰. Если функции g (x)и h (x) непрерывны в точке x ₀ , то функции g (x) + h (x),

g (x) h (x), g (x) /h (x) при h (x ₀) 0 также являются непрерывными функциями.

lim(g (x) + h (x)) = lim g (x) + lim h (x) = g (x _o) + h (x _o)

x x ₀ x x ₀ x x ₀

Для остальных функций доказательство аналогично.

2⁰. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, также является непрерывной.

Док-во. Пусть функция y = g (z) непрерывна в точке z ₀, а z = h (x) в точке x ₀, причем, z ₀ = h(x _o ). По определению непрерывности

lim h (x) = z _o, lim g (z) = g (z _o)

x x ₀ z z ₀

Т.к. предел сложной функции при х x ₀ равен значению функции в точке x ₀

lim g (h (x)) = lim g (z) = g (z _o) = g (h (x _o)),

то функция является непрерывной.

Следствие. Элементарные функции образуются из основных элементарных функций с помощью арифметических операций или являются их суперпозициями. Поскольку основные элементарные функции непрерывны, то в силу свойств 1⁰ и 2⁰ все составленные из них элементарные функции также непрерывны и изображаются на графиках сплошными линиями в области своего определения.