Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Определение производной. Важнейшее свойство материи - движение, пришло в математику в 17 веке через понятие переменной величины



Важнейшее свойство материи - движение, пришло в математику в 17 веке через понятие переменной величины. Всякий реальный процесс описывают несколько переменных величин и они взаимозависимы.

Например, при движении тела происходит изменение времени t и пройденного пути S. Зависимость пройденного пути от затраченного времени определяется уравнением движения S = S (t). Движение может быть равномерным и неравномерным. Основные характеристики механического движения - скорость и ускорение.

Опр. Средняя скорость это отношение пройденного телом пути к затраченному времени.

V ср = (1)

Она дает точную характеристику равномерного прямолинейного движения и грубую оценку неравномерного. Чем меньше время измерения скорости, тем меньше отклонение движения от равномерного и выше качество оценки. Если взять бесконечно малый промежуток времени с помощью предельного процесса, то приходим к понятию мгновенной скорости.

Опр. Мгновенная скорость есть средняя скорость, взятая за бесконечно малый промежуток времени.

Vмг = (2)

Аналогичное выражение для произвольной, непрерывной функции y = f (x) при х х 0наз. производной функции точке х 0. Пусть х – х 0 х – приращение аргумента, а f (x) – f (x 0) y – приращений функции, тогда

= = f ` (x 0) (3)

Опр. Производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента. (Коши 1820 г.)

Функция, имеющая производную в некоторой точке x, наз. дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной наз. дифференцированием.

Алгебраический смысл производной: производная в точке х показывает во сколько раз быстрее изменяется функция, чем аргумент в окрестностях этой точки, т.е. сравнивает скорости двух предельных процессов.

Физический смысл производной - скорость. Продифференцировать уравнение движения S = S (t)значит определить мгновенную скорость тела в каждый момент времени t и получить общий закон изменения этой скорости.

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной.

На графике функции y = f (x) имеем точки M0(x 0 ,y 0) и M (x,y). Прямая М 0 М наз. секущей и пересекает ось О х под углом

tg = =





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 193 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...