Определение производной. Важнейшее свойство материи - движение, пришло в математику в 17 веке через понятие переменной величины

Важнейшее свойство материи - движение, пришло в математику в 17 веке через понятие переменной величины. Всякий реальный процесс описывают несколько переменных величин и они взаимозависимы.

Например, при движении тела происходит изменение времени t и пройденного пути S. Зависимость пройденного пути от затраченного времени определяется уравнением движения S = S (t). Движение может быть равномерным и неравномерным. Основные характеристики механического движения - скорость и ускорение.

Опр. Средняя скорость это отношение пройденного телом пути к затраченному времени.

V _ср = (1)

Она дает точную характеристику равномерного прямолинейного движения и грубую оценку неравномерного. Чем меньше время измерения скорости, тем меньше отклонение движения от равномерного и выше качество оценки. Если взять бесконечно малый промежуток времени с помощью предельного процесса, то приходим к понятию мгновенной скорости.

Опр. Мгновенная скорость есть средняя скорость, взятая за бесконечно малый промежуток времени.

V_мг = (2)

Аналогичное выражение для произвольной, непрерывной функции y = f (x) при х х ₀наз. производной функции точке х ₀. Пусть х – х ₀ х – приращение аргумента, а f (x) – f (x ₀) y – приращений функции, тогда

= = f ` (x ₀) (3)

Опр. Производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента. (Коши 1820 г.)

Функция, имеющая производную в некоторой точке x, наз. дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной наз. дифференцированием.

Алгебраический смысл производной: производная в точке х показывает во сколько раз быстрее изменяется функция, чем аргумент в окрестностях этой точки, т.е. сравнивает скорости двух предельных процессов.

Физический смысл производной - скорость. Продифференцировать уравнение движения S = S (t)значит определить мгновенную скорость тела в каждый момент времени t и получить общий закон изменения этой скорости.

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной.

На графике функции y = f (x) имеем точки M₀(x _{0 ,}y ₀) и M (x,y). Прямая М ₀ М наз. секущей и пересекает ось О х под углом

tg = =