Производные и дифференциалы высших порядков

Опр. Производной второго порядка от функции y = f (x) наз. производная от производной: y = (f `(x))`. Производной n -ого порядка наз. производная от производной (n -1) порядка: y ^{( n )} = (f ^{( n – 1)}(x))`.

Пр. у = (2 х +1)³, у `= 3 2(2 х +1)², у ``= 6 2 2(2 х +1), у ```= 24 2 = 48, у ````= 0.

Опр. Дифференциалом второго порядка от функции y = f (x) наз. дифференциал от дифференциала: dy=d (dy). Дифференциалом n -ого порядка наз. дифференциал от дифференциала (n - 1) порядка: d ⁿ y = d (d ^{n – 1} y).

Вычислим: d ² y = d (dy) = d (f `(x) dx) = dx d (f `(x)) = dx f ``(x) dx = f ``(x) dx ²

const

Получаем d ² y = f ``(x) dx <sup>2</sup> и f ``(x) = .

Здесь dx - произвольное и независящее от х число, т.е. константа. В общем случае:

dⁿy = f ⁽ⁿ⁾ (x) dx ⁿ и f ⁽ⁿ⁾(x) = .

Пр. Вычислить производные и дифференциалы 2 порядка от y = sin² x.

y ` = 2 sin x cos x = sin 2 x, dy = sin 2 x dx

y ``= (sin 2 x)` = 2 cos 2 x, d ² y = 2 cos 2 x dx ²

Дифференцирование по параметру. Пусть x = x (t), y =y (t) и t ₁< t < t ₂ Это параметрическое задание функции. Необходимо вычислить , . Для этого достаточно составить отношение дифференциалов , или

; (19)

Логарифмическое дифференцирование. В показательно-степенную функцию аргумент входит и в основание и в степень y =u (x) ^{v ( x )}. Перед дифференцированием такой функции надо вычислить ее логарифм ln y = v (x) ln u (x) (т.к. ln a^b = b ln a). Тогда

(ln y)` <sub>х</sub> = = v `(x) ln u (x) + v (x) или

y ` = y [ v `(x) ln u (x) + v (x) ] (20)

Пр. Вычислить производную от функции y = x^x.

Решение. ln y = x ln x, (ln y)`= (x ln x)`, = ln x + x/x, y ` _x = x^x [ ln x + 1].